Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей
Шрифт:
3 2
Изъ 19 взяти на 3, по 6: по толику же бы взяти, и изъ 15, на 2: и останется изъ 15, 3, еже напиши надъ 5-ю, а прочая похрь сице (вc цифры, кром 3, 2 и 6, перечеркиваются).
Потомъ напиши первое число делителя, противъ остаточныхъ 3-хъ длимаго, а другое длителя въ рядъ къ правой рук яковъ зді
1 3
1 9 5 2 ( 6
3 2 2
3
И умствуй 3 длителя изъ 3-хъ длимаго, и будетъ 1: и сей 1, напиши подл 6 за чертою, а другимъ числомъ длителя 2-мя возьми изъ 2 длимаго 1, который уже за чертою написанъ сице:
10) Въ заключеніе приведемъ изъ Магницкаго
«одинъ изящнйшій образецъ дленія, зане во единомъ семъ образц сугубое дйство, сирчь съ дленіемъ и повреніе: яко же явлено есть.»
Въ
Такимъ путемъ ведемъ мы дйствіе до самаго конца и находимъ въ отвт 882. Что касается «повренія», т.-е. поврки, то она состоитъ въ перемноженіи длителя и частнаго, при чемъ 678 · 8=5424, 678 · 8=5424, 678 · 2=1356, къ этому присоединяется остатокъ отъ дленія, который равенъ 436, и всего составится 598432.
Римскій способъ дленія.
Римляне были расположены къ счету круглыми числами, и поэтому они любили замнять числа, близкія къ круглымъ, при посредств этихъ круглыхъ. Примровъ этому можно привести очень много, хотя бы: 18 по ихъ нумераціи выражается черезъ 20 безъ двухъ, 90 черезъ сто безъ десяти и т. д. Естественно поэтому ожидать, что подобная наклонность къ круглымъ числамъ будетъ проявлена и при дленіи. Примръ 668 : 6 ршается по римскому способу слдующимъ образомъ. Длимъ 668 не на 6 равныхъ частей, а на 10, тогда въ каждой части будетъ по 6 десятковъ, но вдь мы взяли 4 лишнихъ части, и въ каждой по 6 десятковъ, всего, слд., взяли лишняго 24 десятка, эту сдачу надо приложить опять къ делимому, будетъ 308. Длимъ теперь 30 десятковъ на 10, будетъ въ каждой части по 3 десятка, и такъ какъ лишнихъ частей взято опять 4, то он составятъ 12 дес, а поэтому всего осталось подлить число 128. Изъ этого 12 дес. при дленіи на 10 дадутъ въ каждой части по 1 дес. и сдачи образуется 4 дес. Всего мы, слд., набрали въ частномъ 6 д.+3 д.+1 д.=10 дес, или 100. Теперь надо 68 длить на 6. Продолжаемъ это длать тмъ же самымъ пріемомъ, какимъ вели и до сихъ поръ, именно: 60 : 10, будетъ по 6 ед., сдачи 4x6=24, да 8, всего 32; длимъ 32 на 10, будетъ по 3, сдачи 3x4=12, да 2, всего 14; длимъ 14 на 10, будетъ по 1 единиц, сдачи 4, да 4, всего 8, теперь число уже не длится на 10 и поэтому остается только вопомнить настоящаго длителя 6; и раздлить на него, будетъ въ частномъ 1 и въ остатк 2. Подсчитаемъ итогъ, сколько мы набрали всего-навсего единицъ: 6+3+1+1=11, и въ остатк 2; десятковъ мы выше насчитали 10, и слд. окончательный отвтъ представится въ вид 100+11, т.-е. 111 и ост. 2. Вотъ какой длинный и кропотливый путь. Онъ составляетъ характерную принадлежность римской ариметики, особенно же временъ упадка Рима и перехода римской цивилизаціи къ народамъ Западной Европы. Особенно подробно разработанъ этотъ способъ у Боэція (470—525 по Р. X.), знатнаго и ученаго римскаго гражданина, и у Герберта (папы Сильвестра II), жившаго около 1000 года по Р. X. Посл Герберта этотъ способъ сталъ все боле и боле вытсняться арабскими пріемами, т.-е. такими, которые близки къ нашему нормальному дленію. Не даромъ съ этихъ поръ стали называть способъ Боэція «желзнымъ правиломъ», въ отличіе отъ «золотого» подъ которымъ чаше всего разумли «дленіе вверху» .
Труденъ и очень труденъ былъ римскій способъ, значительно трудне, чмъ «дленіе внизу» и «дленіе вверху».
Обременительность его зависла прежде всего отъ его сложности, но кром того, еще и отъ того, что педагоги и составители учебниковъ или не умли, или не хотли объяснить дло, какъ слдуетъ. Высокимъ, ученымъ слогомъ, безъ обращенія къ чему-нибудь наглядному и понятному, они вели бесду такъ, какъ будто передъ ними находились тоже ученые люди или педагоги, а не малыя дти: тогдашняя школа мряла все на аршинъ учителя и не примнялась къ возрасту и развитію ученика.
Вотъ выписка изъ книжки Сперанскаго (Очерки по исторіи народной школы въ Западной Европ, стр. 118, заимств. изъ Гюнтера): При дленіи 5069 на 4, дйствія располагаются слдующимъ образомъ. Мы имемъ: 10—4=6,
Образуемъ теперь произведеніе
откуда мы получаем 600 + 800 = 1400. Точно также:
600+400=1000. Пользуясь все тмъ же пріемомъ, вычисляемъ произведеніе
и
а 60+20+60=140. Двигаясь тмъ же путемъ дале, мы получимъ:
6+8+6+9=29. Затмъ находимъ
эта сумма, подобно длитеkю, является уже числомъ меньшимъ 10-ти. Такимъ образомъ оказывается, что остатокъ отъ дленія равенъ 1. Искомое частное 1267. Первоначально римскій способъ примнялся на абак, при помощи римскихъ цифръ; но съ теченіемъ времени, когда въ Европу проникли арабскія цифры, онъ сталъ примняться и на нихъ и долго не уступалъ своего мста новымъ пріемамъ. Теперь онъ уже совершенно оставленъ и ршительно нигд не встрчается. А между тмъ и у него есть нкоторое удобство, которое возвышаетъ его въ этомъ отношеніи: именно легкое угадываніе цифръ частнаго. Въ нашемъ нормальномъ дленіи иногда случается задаваться не тою цифрою, какая нужна, а большей или менmiей; у римлянъ же это могло случаться гораздо рже, потому что длителемъ у нихъ всегда служило круглое число, про которое легко найти, сколько разъ оно содержится въ длимомъ.
Приведемъ образцы письменнаго расположенія по этому способу. Примры: 672 : 16 и 3276 : 84.
Другіе способы дленія.
1) Самымъ простымъ, общедоступнымъ путемъ дленія, правда длиннымъ и утомительнымъ, является замна дленія вычитаніемъ; поэтому вс народы, которые находятся на низшихъ ступеняхъ развитія, производятъ дленіе при ломощи вычитанія: потому также полезно было бы давать и малымъ дтямъ нсколько упражненій на послдовательное вычитаніе, прежде чмъ переходить съ ними къ дленію. Примровъ замны дленія вычитаніемъ можно указать много у разныхъ народовъ, особенно же среди мало образованныхъ классовъ. Такъ, въ средніе вка въ Германіи среди простого народа часто употреблялся счетъ на маркахъ, т.-е. на костяшкахъ—костяшки эти клались въ колонны, въ особую колонну для каждаго разряда— въ такомъ случа длитель откладывался отъ длимаго столько разъ, сколько было возможно, и число отложенныхъ длителей показывало величину отвта, потому что раздлить—значитъ узнать, сколько разъ длитель содержится въ длимомъ.
2) Замна дленія умноженіемъ нсколько трудне, чмъ замна его вычитаніемъ; она не такъ доступна, понятна и наглядна; ее мы встрчаемъ на тхъ ступеняхъ развитія науки, когда совершается переходъ отъ простонародныхъ пріемовъ вычисленія къ точнымъ научнымъ пріемамъ. Такъ, напр., у индусовъ до выработки нормальныхъ способовъ дленія мы видимъ массу попытокъ привести его къ умноженію; при этомъ и само умноженіе совершается такимъ искусственнымъ порядкомъ, какой встрчается еще въ глубокой древности у египтянъ, распространенъ былъ среди всхъ народовъ и пользуется до сегодня популярностью среди самоучекъ и немудрыхъ счетчиковъ. Для поясненія беремъ примръ у Евтокія, греческаго писателя въ VI в. по Р. X. Требуется раздлить 6152 на 15. Для этого Евтокій составляетъ рядъ чиселъ, кратныхъ 15-ти: 15, 30, 60, 90, 120,150, 180, 210: 240, 270, 300, 600, 900,1200, 1800, 2100, 2400, 2700, 3000, 6000. Рядъ этотъ, какъ видимъ, содержитъ не вс кратныя числа, но онъ только пролагаетъ путь къ тому, чтобы догадаться, что 6000 кратно 15, и что въ 6000 содержится 15 четыреста разъ. Остается теперь раздлить 152 на 15. Для этого Евтокій снова соcтавляетъ подобный же рядъ: 15, 30, 60, 90, 150 и выводитъ, что 15 въ 150-ти содержится 10 разъ. Всего въ отвт получится 410 и 2 въ. остатк.
3) Слдующей попыткой къ упрощенію дленія является расчлененіе длителя на производителей; оно и теперь примняется съ большимъ успхомъ, особенно при устномъ счет; именно, чтобы раздлить, напр., на 8, можно раздлить данное число пополамъ, полученный отвтъ опять пополамъ и вновь полученный отвтъ еще разъ пополамъ. Для письменнаго вычисленія такой порядокъ особенно рекомендуется итальянцемъ Леонардо Фибонначи (около 1200 г. по Р. X.); при этомъ, въ случа дробнаго частнаго, у него получаетея рядъ дробей съ возрастающиии знаменателями.
Оригинальный пріемъ, основанный на той же иде, даетъ Апіанъ (XVI в. по Р. X.); у него проскальзываетъ нчто въ род десятичныхъ дробей, хотя въ его время теорія десятичныхъ дробей находилась въ самомъ зачаточномъ состояніи.
Положимъ, ему надо раздлить 11664 на 48; онъ сперва вычисляетъ 11664:6, потомъ отъ каждаго полученнаго разряда беретъ вооьмую долю, это легко достигается тмъ, что каждый разрядъ по-множается на 0125, такъ какъ 1:8=0,125. Все дйствіе можно представить въ такомъ вид.