Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Беллюстин Всеволод Константинович

«буди ти вдомо, како ся пишутъ доли въ цифирномъ счет, по нмецкимъ землямъ, въ латин и во французской земли.»

Числитель назывался верхнимъ числомъ, а знаменатель исподнимъ.

У Магницкаго (славянская ариметика 1703 г.) можно найти яркій примръ того, какъ смутно вырисовывалась глава о дробяхъ въ представленіи самихъ авторовъ учебниковъ. Первый разъ упоминаетъ о дробяхъ Магницкій совершенно неожиданно, когда у него идетъ дленіе съ остаткомъ. На стр. 17 ршается примръ 130 : 3, и въ конц ршенія говорится такъ:

«И умствуй изъ 10 3-хъ: и придеть 3, еже напиши за чертою. А осталось изъ 10, 1, иже есть общій всмъ тремъ и пишется послди сице: 1/3 .»

Больше никакихъ разъясненій нтъ совершенно. Слдующій примръ дленія съ остаткомъ приведенъ на стр. 21, и тутъ уже прямо подписанъ отвтъ 77446399 : 2864=27041 ⁹⁶⁸/₂₈₆₄. Затмъ встрчается еще немало примровъ дленія съ остаткомъ, и во всхъ въ нихъ остатокъ подписывается именно такимъ образомъ, т.-е. въ вид числителя дроби, у которой длитель служитъ знаменателемъ. Трудно сказать, что хотлъ изобразить этимъ Магницкій: хотлъ ли онъ представить отвтъ въ вид цлаго числа съ дробью, или же это вовсе, по его мннію, не дробь, а только своебразное обозначеніе дленія съ остаткомъ. Если это дробь,

то лучше было бы отложить ее до полнаго разсмотрнія дробей, или, въ крайнемъ случа, подробно ее объяснить; если же это не дробь, и если черта не отдляетъ числителя отъ знаменателя, то какая же сбивчивость и неясность возникнетъ для ученика, когда онъ начнетъ изучать дроби и увидитъ, что он пишутся почему-то точно такъ же, какъ и остатокъ съ длителемъ при дленіи съ остаткомъ. Почему все это такъ? Едва ли умъ ученика будетъ въ состояніи переварить этотъ вопросъ, и, вроятно, придетсяему бдному просто запомнить и затвердить, не мудрствуя сверхъ силъ.

 На стр. 42 начинается у Магницкаго вторая часть ариметики, въ которой говорится «о числахъ ломаныхъ или съ долями».

«Что есть число ломаное?» — «Число ломаное ничто же ино есть, токмо часть вещи, числомъ объявленная, сирчь полтина есть, половина рубля, а пишется сице 1/2 рубля, или четь 1/4 , или пятая часть ¹/₅ или дв пятыя части ²/₅ и всякія вещи яковыя либо часть, объявлена числомъ, то есть ломаное число».

Затмъ идетъ «нумераціо», или «счисленіе въ доляхъ», т.-е. дается рядъ дробныхъ примровъ и указывается, какъ ихъ выговаривать.

Полезно еще здсь объяснить, что значатъ старинныя русскія выраженія «полтретья», «полпята» и т. п, Полпята вовсе не значитъ половина пяти, но это будетъ 4 1/2 потому что, по нашему говоря, это половина пятаго. т.-е. 4 цлыхъ и отъ пятаго половина. Точно такъ же полтретья значитъ половина третьяго, т.-е. 2 1/2 . У насъ осталось и сейчасъ выраженіе полтора; оно произошло изъ полвтора, т.е. половина второго, слд., одинъ съ половиной, 1 1/2 . Теперь понятна задача изъ Магницкаго на стр РВI [8] : купилъ полторажды полтора аршина, далъ полтретьяжды полтретьи гривны, колико дати за полдевятажды полдевята аршина придетъ 20 рублевъ 2 алтына и 3⁷/₈ полуденьги.

8

 ЭрВэИ с титлом Примечание авт. док.

Сокращеніе дробей и приведеніе къ одному знаменателю.

Умнье сокращать дроби восходитъ довольно далеко и замчается у математиковъ, жившихъ еще до Р. X. Самымъ простымъ способомъ былъ тотъ, который практикуется и у насъ, т. е. дленіе числителя и знаменателя на одно какое - нибудь небольшое число, въ род 2, 3, 5 и т. д. Эвклидъ (за 300 л до Р. X.) въ совершенств знаетъ способъ послдовательнаго дленія, т.е. когда большее число длится на меньшее, меньшее на первый остатокъ, первый на второй и т. п. до тхъ поръ, пока не будетъ найденъ общій длитель. Этотъ способъ разработанъ былъ Эвклидомъ въ геометріи и имъ же предлагается для сокращенія дробей. Въ труд ученаго Боэція (въ VI ст. по Р. X.) рекомендуется послдовательное вычитаніе, какъ средство для сокращенія дробей; при этомъ, схоже съ Эвклидомъ, меньшее число отнимается отъ большаго столько разъ, сколько можно, первый остатокъ отнимается отъ меньшаго числа, второй остатокъ отъ перваго и т. д. до тхъ поръ, пока, подобно Эвклиду, не будетъ найдено общаго длителя, на котораго затмъ и остается раздлить числителя и знаменателя. Кром того, въ средніе вка составлялись довольно длинныя таблицы для сокращенія дробей; въ нихъ выписывалось подробно, на какихъ именно производителей можетъ разлагаться каждое изъ составныхъ чиселъ. Былъ и еще пріемъ довольно своеобразный. Требуется, положимъ, сократить ¹⁴/₂₁. Для этого помножаемъ числителя и знаменателя дроби на такое число, чтобы новый числитель содержалъ въ себ прежняго знаменателя; въ нашемъ примр достаточно помножить 14 на 3, получится 42, длимъ это число на 21; будетъ 2, а весь отвтъ составить 2/3 . Этотъ способъ можетъ и теперь иногда пригодиться, напр., въ устномъ счет.

Въ старинныхъ русскихъ ариметикахъ сокращеніе называлось такъ: «уменьшеніе долямъ». Это выраженіе неправильно, потому что величина дроби при сокращеніи не измняется и, слд., не уменьшается, а уменьшается только числитель и знаменатель; такимъ образ., здсь сама дробь смшивается съ ея членами, а это вовсе не одно и то же. Подобный неправильнйй терминъ встрчается еще и сейчасъ въ нмецкой литератур: verkleinern — уменьшеніе, вмсто слова сокращеніе.

Приведеніе дробей къ одному знаменателю встрчалосъ еще у древнихъ египтянъ, хотя они предпочитали обходиться безъ него. Общимъ знаменателемъ у нихъ не всегда было наименьшее кратное число; напр., чтобы привести къ одному знаменателю дроби ¹³/₁₅ и ⁷/₂₀, они не брали обязательно числа 60 и не замняли данныхъ дробей чрезъ 52/60 и 21/60; они пользовались знаменателемъ и 120 и 300 и т. п., и выражали предыдущія дроби чрезъ ¹⁰⁴/₁₂₀ и ⁴²/₁₂₀, ²⁶⁰/₃₀₀ и ¹⁰⁵/₃₀₀. Мало того, знаменателемъ выбиралось иногда такое число, которое вовсе не длилось на данныхъ знаменателей. Попытаемся, напр., привести дроби ¹³/₁₅ и ⁷/₂₀ къ общему знаменателю 30, тогда получится ²⁶/₃₀ и 10 1/2 тридцатыхъ, такъ какъ тридцатыя доли въ полтора раза мельче двадцатыхъ. Такимъ образомъ, мы видимъ, что древніе египтяне не стснялись формой числителя и допускали дробныхъ числителей. Это указываетъ на значительное пониманіе ими свойствъ дробей: они, слд., вникали въ ихъ смыслъ, умли обращаться съ ними свободно и увренно и примняли ихъ, смотря по удобству, къ различнымъ особенностямъ задачъ. Средневковая ариметика уступаетъ въ этомъ отношеніи древней. Въ ней гораздо больше механизма, заученныхъ правилъ, строго очерченныхъ пріемовъ, и поэтому гораздо меньше свободнаго соображенія. Это обусловливается общимъ отпечаткомъ средневковой науки, какъ исключительно ремесленной, сухой, не позволяющей вникать въ суть и вертвшейся на формахъ. Въ XVI в. по Р. X. учебники относительно этого говорили кратко и внушительно:

«перемножъ крестъ-накрестъ, затмъ перемножь знаменателей!» Косой крестъ считался даже знакомъ приведенія дробей къ одному знаменателю, потому что онъ лучше всего указывалъ порядокъ вычисленія: достаточно числителя первой дроби помножить на знаменателя второй, а числителя второй дроби на знаменателя первой, — это будутъ числители, общимъ же знаменателемъ будетъ произведеніе данныхъ знаменателей. Похоже на это, и знакомъ дленія дробей служилъ въ то время косой крестъ, потому что и при дленіи надо множить крестъ на крестъ, т.-е. числителя одной дроби на знаменателя другой.

Механическое правило, по которому дроби приводятся къ одному знаменателю, касалоеь не только двухъ дробей, но и нсколькихъ. Дано, напр., выразить въ одинаковыхъ доляхъ ⁴/₁₅, ⁷/₂₀, ⁹/₂₅. Тогда составляли сперва произведеніе 15 на 20 и приводили первыя дв дроби въ такой видъ: ⁸⁰/₃₀₀, ¹⁰⁵/₃₀₀. Потомъ составляли произведеніе 300 на 25 и получали общимъ знаменателемъ число 7500, такъ что 3 данныхъ дроби превращались уже въ ²⁰⁰⁰/₇₅₀₀, ²⁶²⁵/₇₅₀₀, ²⁷⁰⁰/₇₅₀₀. Знаменатель, какъ видимъ, возросъ до значительной величины, и все оттого, что математики не научились пользоваться наименьшимъ кратнымъ данныхъ знаменателей. У Магницкаго дроби 2/3 , 3/4 , ⁵/₆, ⁴/₅ приведены къ знаменателю 360, вмсто того, чтобы имъ имть общаго знаменателя 60; у него получаются такіе отвты: ²⁴⁰/₃₆₀, ²⁷⁰/₃₆₀, ³⁰⁰/₃₆₀, ²⁶⁸/₃₆₀ посл ряда длинныхъ вычисленій, занимающихъ цлую страницу книги. Даже въ ариметик Степана Румовскаго (С.-Петерб., 1760 г.) дроби 1/3 и ²/₉ приводятся къ обще-му знаменателю 27, а не 9, какъ это сдлали бы мы. Изъ всего этого видно, что правило, по которому общ. знаменателемъ должно служить наименьшее кратное, является сравнительно новымъ правиломъ и замнялось прежде тмъ порядкомъ, что общій знаменатель составлялся прямо перемноженіемъ данныхъ знаменателей.

Дйствія надъ простыми дробями.

Въ настоящее время принято во всхъ учебникахъ, чтобы дйствія надъ дробями шли въ такомъ порядк: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дленіе. Прежде было иначе: старинные авторы предпочитали начинать съ умножевія и дленія, и потомъ уже они переходили къ сложенію и вычитанію; при этомъ они руководствовались тмъ, что для умноженія и дленія не надо приводить къ общему знаменателю и, слд., эти два дйствія гораздо легче тхъ двухъ.

Мы будемъ держаться общепринятаго порядка и поэтому скажемъ сперва нсколько словъ о сложеніи. Изъ его особенностей отмтимъ только ту, которая касается сложенія нсколькихъ дробей. Для этого, обыкновенно, складывали сперва только дв дроби, сумму ихъ сокращали, если только она сокращается; потомъ къ ней прикладывали третью дробь и сумму опять сокращали, если только можно, и т. д. Если сложеніе до послдней дроби. Въ XVI ст. по Р. X. умли, впрочемъ, складывать нсколько дробей сразу, но тогда ужъ принимали за общаго знаменателя произведеніе всхъ знаменателей. Для облегченія сложенія придумывались особенныя таблицы, въ которыхъ были помщены суммы наиболе употребительныхъ долей. Напр.: итальянецъ Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. Хр.) даетъ въ своемъ учебник таблицу сложенія дробей, у которыхъ знаменателемъ служатъ числа: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

Вычитаніе. Древніе египтяне замняли вычитаніе дробей сложеніемъ. Вмсто того, чтобы привести дроби къ одному знаменателю и потомъ вычесть числителей, какъ это везд длается, они задавались вопросомъ: какое число надо прибавить къ меньшему данному числу, чтобы получить большее данное? Напр., сколько недостаетъ до единицы у

(египтяне, обыкновенно, пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителями, равными единиц); они ршали этотъ вопросъ слдующимъ образомъ: общій знаменатель 45, складываемъ 11 1/4 , 5 1/2 , 1/8 , 4 1/2 , 1 1/2 , 1, будетъ всего 23 1/2 1/4 1/8 ; до 2/3 не хватаетъ

; всего до 1 не хватаетъ 1/3 ¹/₉¹/₄₀ —это есть отвтъ. Читатель, наврное, понялъ, что здсь между дробями пропущены знаки сложенія: египтяне ихъ и не ставили и полагали, что достаточно написать дроби рядомъ, чтобы принять ихъ за слагаемыя.

Умноженіе. Умножить какое-нибудь количество на правильную дробь значитъ найти такую долю этого количества, какая выражается множителемъ. Это такъ ясно и понятно. Тмъ не мене нахожденіе частей числа почему-то отдлялось и отдляется отъ умноженія и принимается за какое-то особенное вычисленіе, которое должно яко бы предшествовать 4 арим. дйствіямъ. Почему все это такъ, и гд кроется корень недоразумнія, — объяснить трудно, такъ какъ исторія ариметики не даетъ надежнаго ключа къ разгадк. Но любопытно сопоставить это дло съ другимъ недоразумніемъ, которое нсколько вковъ тому назадъ особенно авторитетно выставлялось на первый планъ, считаясь чмъ то непреложнымъ, а въ настоящее время оно оставлено и забыто. Касается оно слдующаго. Въ вычисленіяхъ съ дробными числами, кром чиселъ цлыхъ и дробей, встрчались еще такъ наз. доли отъ долей; это были длинныя формулы, состоящія изъ огромнаго ряда дробей, которыя не подлежали упрощенію и въ сыромъ вид входили въ дйствіе. Лучше всего пояснить это на примр: сложить 2/3 отъ ⁴/₅ отъ ⁵/₆ съ 7/8 отъ ⁹/₁₀, или еще: изъ 10 вычесть 3 2/3 отъ 2 1/2 отъ ⁴/₅. Ясно, что здсь невычисленныя формулы, и что прежде чмъ складывать или вычитать, надо привести слагаемыя или же уменьшаемое съ вычитаемымъ въ обработанный видъ. Получится 2/3 отъ ⁴/₅⁵/₆= ⁴⁰/₉₀ = ⁴/₉;