Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей
Шрифт:
Предлъ чиселъ
Каковъ предлъ чиселъ, иначе сказать: до какого самого большого числа доходитъ тотъ или другой народъ при счет и вычисленіи?
Живетъ въ настоящее время два дикихъ племени, Жури и Каирири, которыя считаютъ только по одной рук и такимъ образомъ доходятъ только до пяти. Есть еще хуже. Низшія племена Бразиліи считаютъ обыкновенно по суставамъ пальцевъ и добираются этимъ путемъ только до трехъ. Все, что выше 2-хъ, они выражаютъ общимъ словомъ «много». Цивилизованные народы древнйшихъ временъ, какъ то: халдеи, евреи и китайцы, не заходили въ счет слишкомъ далеко. Въ халдейскихъ надписяхъ и памятникахъ нигд не встрчается упомипанія о милліон. Въ Библіи есть, правда, выражепія «тысяча тысячъ» и «тысяча разъ по десяти тысячъ», однако подъ ними никакъ нельзя разумть опредленныхъ чиселъ, скорй же это картинное обозначеніе какихъ-то громадныхъ, неизмримыхъ количествъ. Не даромъ наши предки славяне принимали десять тысячъ за «тьму», какъ за что-то туманное и неясное, до чего нельзя и досчитаться. Еще сильне употреблявшееся у нихъ выраженіе «невдіе», въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ ариметикахъ оно обозначало сотню тысячъ. Древнйшій культурный
Но кто особенно любилъ большія числа, такъ это индусы, горячіе поклонники арииетики и ея творцы. Умнье обращаться съ громаднйшими числами считалось у нихъ признакомъ чрезвычайной смышлености и ставилось въ высокую заслугу. Даровитый математикъ такъ же былъ славенъ въ Индіи и достигалъ такой же популярности, какая у насъ выпадаетъ на долю только побдителя или поэта. Интересна легенда о нкоемъ индус Bodisattva какъ онъ сталъ свататься за одну двушку, и какъ отецъ невсты соглашался отдать ее только въ томъ случа, если юноша докажетъ свое особое искусство въ письм, въ единоборств, въ бг и въ ариметик. По требованію отца, Bodisattva даетъ названія громаднымъ числамъ, кончая единицей 54-го разряца, т.-е. онъ оказывается въ состояніи прочесть число, выраженное длинной строкой въ 54 цифры, и что всего поразительне, такъ это то, что онъ выговариваетъ числа не по одному способу, а по нсколькимъ, по 6 или 7. Въ заключеніе ему даютъ задачу: пусть бы онъ указалъ самую наименьшую долю длины, какую только можетъ онъ придумать. Онъ назвалъ и указалъ 1/108 470 495 616 000 индусской мры длины. Онъ началъ такъ: эта доля, которую я указываю, составляетъ седьмую часть тончайшей пылинки; 7 тончайшихъ пылинокъ составляютъ одну небольшую пылинку; изъ 7 небольшихъ выходитъ такая, которую кружитъ втеръ; ихъ 7 даютъ одну, пристающую къ ног зайца; 7 подобныхъ послдней даютъ одну, пристающую къ ног барана; 7 пристающихъ къ ног барана образуютъ одну, пристающую къ ног буйвола; 7 пылинокъ буйвола составляютъ маковое зерпышко; 7 маковыхъ зернышекъ даютъ горчичное зерно, 7 горчичныхъ—ячменное, 7 ячменныхъ даютъ длину сустава пальца, изъ 12 суставовъ получаемъ пядь, изъ двухъ пядей — локоть, 4 локтя составляютъ лукъ и, наконецъ, 4000 луковъ даютъ индусскую мру длины, такъ наз. «y^oana». Таковъ переходъ отъ этой мры къ самой малой дол и такова дробь, выраженная, по нашему, въ трилліонныхъ частяхъ.
Знаменитые математики древней Греціи, Пиагоръ и Архимедъ, не такъ интересовались ариметикой, какъ геометріей. Ариметика у нихъ была не своя, а заимствованная главнымъ образомъ у индусовъ. Неудивительно поэтому, что великій математикъ Пиагоръ ограничивался въ своихъ вычисленіяхъ только 16-ю разрядами счетныхъ единицъ и заканчивалъ, если перевести числа на нашу систему, квадрилліонами (единица съ 15 нулями). Но Архимедъ пошелъ въ этомъ случа довольно далеко. Подражая индусамъ, онъ поставилъ себ такую задачу: высчитать число песчинокъ во всей вселенной, даже и въ томъ предположеніи, что весь міръ состоитъ изъ песчинокъ. Архимедъ ршилъ задачу такъ. Пусть, говоритъ онъ, вся вселенная образуетъ шаръ съ центромъ на солнц и съ радіусомъ, равнымъ разстоянію отъ солнца до земли. Пусть вся вселенная состоитъ изъ песчинокъ и притомъ изъ такихъ мелкихъ, что тысяча песчинокъ равна маковому зерну. Предположимъ, что 40 маковыхъ зеренъ, уложенныя въ рядъ, образуютъ дюймъ длины. При всхъ этихъ условіяхъ, по вычисленію Архимеда, песчинокъ во всей вселенной мене, чмъ сколько выражаетъ число, обозначенное единицей съ 64 нулями. Интересно, какъ же выговорить такое громадное число или какъ его представить въ наглядномъ и доступномъ вид? Архимедъ идетъ такимъ путемъ: 10000 простыхъ единицъ онъ называетъ миріадой. Миріада миріадъ=100 000 000, это будетъ единица 9-го разряда. Назовемъ ее хоть группой. Группа группъ будетъ единицей 17-го разряда=100 000 000 000 000 000. Назовемъ эту группу группъ хоть массой. Тогда масса массъ составитъ единицу 33-го разряда. Назовемъ ее, пожалуй, хоть громадой. Тогда громада громадъ будетъ составлять единицу 65-го разряда и явится отвтомъ на задачу Архимеда.
Подобную систему, позволяющую выражать громадныя количества, встрчаемъ мы въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ ариметикахъ (XVI—ХVІІ в. по Р. X.). Она носитъ названіе «числа великаго словенскаго» и представляетъ изъ себя нумерацію, развитую подробно, остроумно и своеобразно. Не безъ вліянія на эту нумерацію осталась польская ученость, которая во времена, предшествовавшія Петру Великому, питала и растила зачатки русской образованности, въ особенности же въ свтской ея части; польская наука заимствовала, въ свою очередь, все содержаніе и силу изъ Западной Европы, Европа у арабовъ, арабы многому научились у индусовъ. Вотъ какая длинная цпь переходовъ и ступеней нужна была для того, чтобы ариметическія знанія индусовъ сдлались собственностью русскихъ. И времени для этого потребовалось не мало, — цлыя столтія: что въ Индіи извстно было вскор по Р. X., то къ намъ въ Россію прибыло едва въ 17 столтіи. Вотъ таблица «числа великаго словенскаго», употреблявшаяся въ томъ случа, «коли прилучался великій счетъ и перечень», и содержавшая въ себ 50 счетныхъ единицъ: 1) единъ, 2) десять, 3) сто, 4) едина тысяча, 5) десять тысячъ, 6) сто тысячъ, 7) едина тьма, 8) десять темъ, 9) сто темъ, 10) тысяча темъ, 11) десять тысячъ темъ, 12) сто тысячъ темъ, 13) единъ легіонъ, 14) десять легіоновъ, 15) сто легіоновъ, 16) тысяча легiоновъ, 17) десять тысячъ легіоновъ, 18) сто тысячъ легіоновъ, 19) тьма легіоновъ, 20) десять темъ легіоновъ, 21) сто темъ легіоновъ, 22) тысяча темъ легіоновъ, 23) десять тысячъ темъ легіоновъ, 24) сто тысячъ темъ легіоновъ, 25) единъ леодръ, 26) десять леодровъ, 27) сто леодровъ, 28) тысяча леодровъ, 29) десять тысячъ леодровъ, 30) сто тысячъ леодровъ, 31) тьма леодровъ, 32)
Кром того, у русскихъ ХVІ—ХVІІ вка по Р. X. была еще другая система счета, такъ сказать, обиходная, будничиая. Это — «малое число». По этой систем единицами счета являются: единица простая, десятокъ, сотня, тысяча, тьма=10 000, легіонъ=100 000 и леодръ =100 000. [2]
Замчательно, что и средневковые китайскіе ученые доводятъ нумерацію до 53-го разряда. И совпаденіе предла, и нкоторые другіе историческіе факты приводятъ къ вроятному предположенію, что не всегда Китай былъ такь уединенно замкнутъ, какъ въ наши времена, и что индусская ученость, въ пору расцвта своей силы, т.-е. лтъ тысячу тому назадъ, проникла и къ китайцамъ и проявила свое дйствіе тамъ.
2
очевидно, опечатка в оригинальном издании и нужно читать
«леодръ =1 000 000»
прим вики
Чтобы закончить выясненіе предла чиселъ, мы остановимся еще немного на преданіи о той наград, которую изобртатель шахматной игры пожелалъ получить отъ шаха Шерама. Это преданіе свидтельствуетъ опять таки о склонности индусовъ къ громаднымъ вычисленіямъ. Гласитъ оно слдующее. Шахъ Шерамъ такъ былъ восхищенъ только что изобртенной шахматной игрой, что предложилъ изобртателю назначить самому себ награду. Тотъ и назначилъ:
«положи», говоритъ, «шахъ, мн на первую клтку доски 1 пшеничное зернышко, на 2-ю два, на 3-ю 4, на 4-ю 8 и т. д., на каждую послдующую вдвое больше, чмъ на предыдущую».
Клтокъ въ доск 64. Шахъ поспшилъ согласиться, но когда стали высчитывать количество зеренъ, то оказалось, что получается нчто необъятное, и что столько зеренъ нечего и думать набрать, хотя бы начать собирать ихъ со всей земли. Отвтъ такой: 18 446 744 073 709 551 615.
Счетные приборы
Всякій отдльный человкъ и всякій отдльный народъ на первыхъ ступеняхъ своего развитія бываетъ склоненъ къ предметному счету. Какъ дтямъ, такъ и дикарямъ свойственно начинать счетъ съ пальцевъ. Отъ пальцевъ они переходятъ робкими попытками и съ большой нершительностью къ счету на другихъ предметахъ, обыкновенно на близкихъ имъ и обиходиыхъ, напр., на черточкахъ, зарубкахъ, крестикахъ, костяшкахъ в т. п. Они еще очень далеки въ этомъ случа отъ устнаго счета и отъ письменныхъ вычисленій. Продолжая развивать свою привычку къ наглядному счету, человкъ доходитъ до сложныхъ системъ, которыя онъ проявляетъ въ особенныхъ счетныхъ приборахъ и аппаратахъ. Одни только индусы, у которыхъ наука восходитъ къ такой же сдой древности и къ такимъ же необъятнымъ глубинамъ прошедшихъ вковъ, какъ у египтянъ и китайцевъ, и у которыхъ образованіе начало развиваться за тысячи лтъ до Р. X., — одни они успли освободиться отъ помощи предметовъ во время счета и занялись чисто умственнымъ, преимущественно устнымъ, счетомъ. У остальныхъ же народовъ, какъ образованныхъ, такъ и мало развитыхъ, мы встрчаемъ множество наглядныхъ пособій.
Укажемъ прежде всего на счетъ по пальцамъ и притомъ не на простой способъ постепеннаго загибанія пальцевъ, а на оригинальные пріемы, изобртенные по большей части римлянами.
Римляне были большіе любители всевозможныхъ вычисленій на пальцахъ. Между прочимъ, путемъ разгибанія и загибанія пальцевъ, а также путемъ вытягиванія и складыванія рукъ, они умли выражать числа отъ 1 до милліона. При этомъ 3 пальца лвой руки, начиная съ мизинца, служили у нихъ въ различныхъ комбинаціяхъ для простыхъ единицъ, остальные пальцы лвой руки—для десятковъ, большой и указательный пальцы правой руки для сотенъ, а остальные для тысячъ. Чтобы выразить, напр., простую единицу, они загибали мизинецъ, чтобы выразить 2, пригибали 4-й и 5-й палецъ къ ладони, для 3-хъ—3-й палецъ: число 90, напр., обозначалось указательнымъ пальцемъ, пригнутымъ къ ладони; для обозначенія десятковъ тысячъ они клали лвую руку на грудь, бедро, для сотенъ тысячъ пользовались такимъ же образомъ правой рукой; складываніеі рукъ крестъ-накрестъ соотвтствовало милліону.
Римляне не только могли замчать на пальцахъ большія числа, но они умли производить при помощи пальцевъ нкоторыя дйствія. И сейчасъ еще потомки римлянъ, румыны и южные французы, въ состояніи быстро и искусно продлывать на пальцахъ таблицу умноженія.
Положимъ, дано умножить 6 на 8; тогда протягиваемъ на одной рук 1 палецъ, т. е. ровно столько, насколько первый множитель больше пяти, а на второй рук протягиваемъ 3 пальца, потому что, согласно такому же разсчету, 8 больше 5-ти на три; количество протянутыхъ пальцевъ складываемъ, и это будетъ число десятковъ—4; количества же пригнутыхъ пальцевъ перемножаемъ: 4x2=8, тогда получимъ единицы произведенія, 4 дес.+8=48.
Еще примръ: 8X9; такъ какъ 8 больше 5-ти на 3, а 9 на 4, то надо протянуть на первой рук 3 пальца, а на второй—4, тогда останется согнутыхъ пальцевъ на первой рук 2, на второй—1; теперь мы складываемъ количество протянутыхъ: 3+4=7, и перемножаемъ количества согнутыхъ: 1x2=2, отвтъ 72.
На чемъ же основанъ этотъ остроумный и быстрый пріемъ? Имъ такъ любили пользоваться школьники, особенно среднихъ вковъ. когда имъ не давалась многотрудная таблица умноженія. Основаніе его лучше всего можно выяснить алгебраической формулой, и для тхъ, кто владетъ алгеброй, мы ее сообщаемъ. Она иметъ видъ тождества: х. у==(х—5+у—5). 10+[5—(х—5)]. [5—(у—5)]. Изъ формулы можно видть, что она примнима только для тхъ случаевъ, когда множители больше 5-ти.