Кибернетика или управление и связь в животном и машине

Винер Норберт

 

(3.28)

Если теперь t и s имеют противоположные знаки, то

 

(3.29)

а если они одного знака и |s|<|t|, то

 

 

 

(3.30)

[c.135]

Отсюда

 

(3.31)

В

частности,

 

(3.32)

Более того,

 

(3.33)

[c.136]

где сумма берется по всем разбиениям величин ₁, …, _n на пары, а произведение — по парам в каждом разбиении. Выражение

 

(3.34)

изображает очень важный ансамбль временных рядов по переменной t, зависящих от некоторого параметра распределения . Доказанное нами равносильно утверждению, что все моменты и, следовательно, все статистические параметры этого распределения зависят от функции

 

(3.35)

представляющей собой известную в статистике автокорреляционную функцию со сдвигом . Таким образом, распределение функции f(t, ) имеет те же статистики, что и функция f(t+t₁, ); и действительно, можно доказать, что если

 

, (3.36)

то преобразование параметра в Г сохраняет меру. Другими словами, наш временной ряд f(t, ) находится в статистическом равновесии.

Далее, если мы рассмотрим среднее значение для

 

(3.37)

то оно состоит в точности из членов выражения

 

(3.38)

[c.137]

и из конечного числа членов, имеющих множителями степени выражения

 

, (3.39)

если последнее стремится к нулю при ->, то (3.38) будет пределом выражения (3.37). Другими словами, распределения функций f(t, ) и f(t+, ) становятся асимптотически независимыми, когда ->. Более общим, но совершенно аналогичным рассуждением можно показать, что одновременное распределение функций f(t₁, ), …, f(t_n, ) и функций f(+s₁, ), …, f(+s_m, ) стремится к совместному распределению первого и второго множества, когда ->. Другими словами, если F[f (t, )] — любой ограниченный измеримый функционал, т. е. величина, зависящая от всего распределения значений функции f(t, ) от t, то для него должно выполняться условие

 

. (3.40)

Если F[f (t, )] инвариантен при сдвиге по t и принимает только значения 0 или 1, то

 

, (3.41)

т. е. группа преобразований f(t, ) в f(t+, ) метрически транзитивна. Отсюда следует, что если F[f (t, )] —

любой интегрируемый функционал от f как функции от t, то по эргодической теореме

 

(3.42)

[c.138]

для всех значений , исключая множество нулевой меры. Таким образом, мы почти всегда можем определить любой статистический параметр такого временного ряда (и даже любого счетного множества статистических параметров) из прошлой истории одного только параметра. В самом деле, если для такого временного ряда мы знаем

 

(3.43)

то мы знаем Ф(t) почти во всех случаях и располагаем полным статистическим знанием о временном ряде.

Некоторые величины, зависящие от временного ряда такого рода, обладают интересными свойствами. В частности, интересно знать среднее значение величины

 

(3.44)

Формально мы можем записать его в виде

 

 

 

. (3.45)

Весьма интересная задача — попытаться построить возможно более общий временной ряд из простых рядов броунова движения. При таких построениях, как подсказывает пример рядов Фурье, разложения типа (3.44) составляют удобные строительные блоки. В частности, исследуем временные ряды специального вида:

 

(3.46)

[c.139]

Предположим, что нам известна функция (, ), а также выражение (3.46). Тогда при t₁>t₂ находим, как в (3.45),

 

(3.47)

Умножив на

 

и положив s(t₂—t₁)=i, получим при t₂– >t₁

 

(3.48)

Примем K(t₁, ) за новую независимую переменную и, решая относительно , получим

 

(3.49)

Тогда выражение (3.48) будет иметь вид

 

(3.50)

Отсюда преобразованием Фурье можно найти

 

(3.51)

как функцию от , коль скоро лежит между K(t₁, a) и K(t₁, b). Интегрируя эту функцию по , найдем

 

(3.52)

[c.140]

как функцию от K(t₁, ) и t₁. Иначе говоря, существует известная функция F (u, v), такая, что

 

(3.53)

Поскольку левая часть этого равенства не зависит от t₁, мы можем обозначить ее через G и положить