Кибернетика или управление и связь в животном и машине

Винер Норберт

 

(3.72)

Преобразование, определяемое выражением (3.72), называется преобразованием Гильберта; оно изменяет cos в sin и sin в —cos . Следовательно,

F+iG

есть функция вида

 

(3.73)

и удовлетворяет требуемым условиям для log |k| в нижней полуплоскости.

Если теперь положить

 

, (3.74)

то можно показать, что при весьма общих условиях функция K(s),

определяемая формулой (3.68), будет обращаться в нуль для всех отрицательных аргументов. Таким образом,

 

(3.75)

[c.145]

С другой стороны, можно показать, что 1/k записывается в виде

 

, (3.76)

где значения N_n определены подходящим образом, и что при этом можно получить

 

(3.77)

Здесь значения Q_n должны удовлетворять формальному условию

 

(3.78)

В общем случае будем иметь

 

, (3.79)

а если ввести по образцу соотношения (3.68)

 

, (3.80)

то

 

. (3.81)

Следовательно,

 

. (3.82)

Этот вывод мы используем для того, чтобы получить оператор предсказания в форме, связанной не со временем, а с частотой. [c.146]

Таким образом, прошлое и настоящее функции (t, ), или точнее «дифференциала» d(t, ), определяют прошлое и настоящее функции f(t, ), и обратно.

Если теперь А >0, то

 

(3.83)

Здесь первый член последнего выражения зависит от области изменения d(, ), в которой, зная лишь f(, ) для <=t, сказать ничего нельзя, и совершенно не зависит от второго члена. Его среднеквадратическое значение равно

 

, (3.84)

и эта формула дает все статистическое знание о нем. Можно показать, что первый член имеет гауссово распределение с этим среднеквадратическим значением. Последнее равно ошибке наилучшего возможного предсказания функции f(t+A, ).

Само же наилучшее возможное предсказание выражается вторым членом в (3.83):

 

. (3.85)

Если теперь положим

 

(3.86)

[c.147]

и применим оператор (3.85) к e^it, получив

 

, (3.87)

то найдем, подобно (3.81), что

 

(3.88)

Это и есть частотная

форма наилучшего оператора предсказания.

Задача фильтрации в случае временных рядов типа (3.34) тесно связана с задачей предсказания. Пусть сумма сообщения и шума имеет вид

 

, (3.89)

а сообщение имеет вид

 

, (3.90)

где и распределены независимо в интервале (0, 1). Тогда предсказуемая часть функции m(t+a), очевидно, равна

 

, (3.901)

а среднеквадратическая ошибка предсказания равна

 

. (3.902)

Допустим, кроме того, что нам известны следующие величины:

 

[c.148]

 

 

 

 

 

 

(3.903)

 

 

(3.904)

 

 

 

 

(3.905)

[c.149]

Преобразование Фурье для этих величин соответственно равно

 

(3.906)

где

 

(3.907)

то есть

 

(3.908)

и

 

, (3.909)

где для симметрии пишем

 

.

Теперь мы можем определить k из (3.908), как прежде определили k из (3.74). Здесь мы принимаем

 

В результате

 

(3.910)

и

 

. (3.911)