Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

S

=

3

4

F

+

q

(2.51)

где q — функция, монотонно изменяющаяся в небольших пределах между

q(0)

=

1

3

=

0,58

и

q

=

0,71

.

Представляет интерес сравнение приближённых выражений для S, полученных выше при помощи методов Шварцшильда — Шустера, Эддингтона и Чандрасекара (в первом приближении), с точной формулой (2.51).

Эти приближённые выражения даются соответственно формулами (2.24), (2.33) и (2.40). Мы видим, что наибольшей точностью обладает формула (2.40). Значения функции S, найденные по этой формуле при =0 и при больших , а именно

S(0)

=

3

4

F

(2.52)

и

S

=

3

4

F

при

>>

1

,

(2.53)

совпадают с точными значениями S. Формула (2.33) даёт точные значения функции S лишь при >>1. Значения S, полученные по формуле (2.24), отличаются от точных значений как при =0, так и при >>1.

5. Распределение яркости по диску звезды.

Рис. 3

Знание функции S позволяет определить интенсивность излучения на любой оптической глубине. В частности, мы можем найти интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величину I(0,). Очевидно, что интенсивность излучения, выходящего из фотосферы под углом к нормали, представляет собой яркость диска звезды на угловом расстоянии от центра диска (рис. 3). Поэтому величиной I(0,) даётся распределение яркости по диску звезды.

Чтобы найти величину I(0,), надо в формуле (2.42), дающей интенсивность излучения, идущего снизу вверх (т.е. при </2), положить =0. Делая это и заменяя переменную интегрирования ' на , находим

I(0,)

=

0

S

e

^{– sec}

sec

d

.

(2.54)

Выше были получены различные приближённые формулы для функции S. Посмотрим, к какому распределению яркости по диску звезды приводит каждая из этих формул.

Пользуясь для функции S формулами (2.24), (2.33) и (2.40), полученными в приближениях Шварцшильда — Шустера, Эддингтона и в первом приближении Чандрасекара, соответственно находим

I(0,)

=

F

1

2

+

cos

,

(2.55)

I(0,)

=

F

1

2

+

3

4

cos

,

(2.56)

и

I(0,)

=

F

3

4

+

3

4

cos

,

(2.57)

Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю, т.е. для величины I(0,0)/I(0,/2), эти формулы соответственно дают: 3, 2,5 и 2,7. Как мы увидим ниже, точное значение этой величины равно 2,9.

Таким образом, яркость

в центре диска значительно больше яркости на краю. Объясняется это тем, что в центре диска излучение выходит в среднем из более глубоких слоёв, чем на краю.

Приведённый выше теоретический закон распределения яркости по диску звезды в общем подтверждается наблюдательными данными. Эти данные получены в основном при изучении Солнца, так как дисков других звёзд мы не видим. Некоторые сведения о потемнении диска звезды при переходе от центра к краю даёт также анализ кривых изменения блеска затменных переменных. В этом случае одна звезда периодически закрывает другую и по свечению оставшейся не закрытой части диска звезды можно судить о распределении яркости по диску.

Подчеркнём, что в этом параграфе речь шла о полных (т.е. проинтегрированных по всему спектру) яркостях. Наблюдения же дают не только распределение по диску звезды полной яркости, но и распределение яркости в различных длинах волн. Вопрос о законе потемнения диска звезды при переходе от центра к краю в различных длинах волн будет рассмотрен ниже.

§ 3. Точное решение основных уравнений

1. Уравнение для резольвенты.

Приведённое выше интегральное уравнение Милна представляет собой частный случай уравнений, довольно часто встречающихся в астрофизике. Все эти уравнения имеют ядра, зависящие от абсолютного значения разности двух аргументов. Для решения таких уравнений был предложен сравнительно простой метод, который мы сейчас и изложим (см. [5]). Затем этот метод будет использован для получения точного решения задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. В дальнейшем тем же методом будут решены другие астрофизические задачи (об образовании линий поглощения в звёздных спектрах, о рассеянии света в атмосферах планет и т.д.).

Рассмотрим интегральное уравнение

S

=

0

K

(|-'|)

S(')

d'

+

g

,

(3.1)

определяющее функцию S (не совпадающую, вообще говоря, с введённой ранее функцией S, но имеющую аналогичный физический смысл). Здесь K(|-'|) — ядро уравнения и g —функция, характеризующая распределение источников излучения в среде. Функции K и g являются заданными и для разных задач различными (с примерами мы познакомимся позднее).

Решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде

S

=

g

+

0

(,')

g(')

d'

,

(3.2)

где (,') — резольвента, удовлетворяющая, как известно, уравнению

(,')

=

K

(|-'|)

+

0

K

(|-''|)

('',')

d''

.

(3.3)

При этом (,') является симметричной функцией от и ', т.е. (,')=(',).

Пользуясь уравнением (3.3), мы можем получить новое уравнение для резольвенты. Для этого перепишем (3.3) в виде

(,')

=

K(|-'|)

+

0

K

(-,')

d

+

+

0

K

(+,')

d

.

(3.4)

Дифференцируя (3.4) сначала по , затем по ' и складывая почленно полученные равенства, находим

+

'

=

K

(0,')