Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
Находя I1 и I– 1 из (2.38) при указанных условиях, для искомой функции S получаем
S
=
3
4
F
+
1
3
.
(2.40)
Как мы увидим дальше, выражение (2.40) для функции S оказывается более точным, чем полученные ранее выражения (2.24) и (2.33). Увеличив число членов в квадратурной формуле (2.35), можно получить ещё
4. Интегральное уравнение Милна.
Из системы уравнений (2.9) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции S. Для этого надо решить первое из уравнений (2.9) относительно I(,) и подставить найденное выражение I(,) через S во второе из этих уравнений. Такой путь решения задачи представляется наиболее естественным, так как мы получаем одно уравнение для определения функции, зависящей только от одного аргумента.
Общее решение первого из уравнений (2.9) имеет вид
I(,)
=
I(
*
,)
e
– (*– )sec
+
+
*
e
– ('-)sec
S(')
sec
d'
.
(2.41)
Оно представляет собой уравнение переноса излучения в интегральной форме [сравните с уравнением (1.14)].
Уравнение (2.41) следует рассматривать отдельно для двух случаев: для излучения, идущего снизу вверх, и для излучения, идущего сверху вниз.
В первом случае, полагая *= и считая, что интенсивность излучения не возрастает экспоненциально с ростом , получаем
I(,)
=
e
– ('-)sec
S(')
sec
d'
<
2
.
(2.42)
Во втором случае, полагая *=0 и принимая во внимание граничное условие (2.10), находим
I(,)
=-
0
e
– ('-)sec
S(')
sec
d'
>
2
.
(2.43)
Теперь мы должны подставить выражения (2.42) и (2.43) во второе из уравнений (2.9). Делая эту подстановку и меняя порядок интегрирования, имеем
S
=
1
2
S(')
d'
x
x
/2
0
e
– ('-)sec
S(')
sec
sin
d
–
–
1
2
0
S(')
d'
/2
e
– ('-)sec
S(')
sec
sin
d
.
(2.44)
Положим sec=x
S
=
1
2
S(')
d'
1
e
– ('-)x
dx
x
+
+
1
2
0
S(')
d'
1
e
– (-')x
dx
x
.
(2.45)
Так как показатели в обеих экспонентах могут быть представлены в виде -|-'|x, то (2.45) короче записывается так:
S
=
1
2
0
S(')
d'
1
e
– |-'|x
dx
x
.
(2.46)
Ядро интегрального уравнения (2.46) есть интегральная показательная функция, определяемая формулой
E
=
1
e
– x
dx
x
.
(2.47)
Заметим, что функция E при =0 имеет логарифмическую особенность, а при -> стремится к нулю как e– /.
С помощью (2.47) интегральное уравнение для определения функции S окончательно записывается в виде
S
=
1
2
0
E
|-'|
S(')
d'
.
(2.48)
Это интегральное уравнение называется уравнением Милна.
Уравнение (2.48) определяет функцию S с точностью до произвольного множителя, который находится из того условия, что задан поток излучения H=F.
Выразим поток излучения через функцию S. Для этого надо подставить в формулу (2.21) выражения (2.42) и (2.43). Выполняя такие же преобразования, как и при получении уравнения (2.48), находим
F
=
2
S(')
E
('-)
d'
–
2
0
S(')
E
(-')
d'
,
(2.49)
где E — вторая из интегральных показательных функций, определяемых равенством
E
n
=
1
e
– x
dx
xn
.
(2.50)
Интегральное уравнение Милна рассматривалось многими авторами. Наиболее полное исследование принадлежит Хопфу, который нашёл, что точное решение этого уравнения имеет вид