Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
cos
dI(,)
d
=
I(,)
–
S
,
S
=
1/2
0
I(,)
sin
d
.
(2.9)
К системе уравнений (2.9) необходимо добавить ещё граничное условие. Оно выражает тот факт, что нет излучения, падающего на звезду извне, т.е.
I(0,)
=
0
при
>
2
.
(2.10)
Кроме
H
=
L
4R^2
,
(2.11)
где L — светимость звезды (т.е. полное количество энергии, излучаемое звездой за 1 с) и R — радиус звезды.
Системы уравнений типа (2.9) весьма часто встречаются в астрофизике. С такими же уравнениями приходится иметь дело и в геофизике (при изучении рассеяния света в земной атмосфере и в водных бассейнах). К аналогичным уравнениям приводят и некоторые проблемы физики (например, проблема диффузии нейтронов). Поэтому системы уравнений типа (2.9) были предметом многочисленных исследований и для их решения предложен ряд методов (см. [4] и [5]).
Ниже излагаются некоторые из этих методов, представляющих наибольший интерес для астрофизики.
2. Приближённое решение уравнений.
Для решения системы уравнений (2.9) были предложены приближённые методы, основанные на усреднении интенсивности излучения по направлениям. Первый из этих методов принадлежит Шварцшильду и Шустеру, второй — Эддингтону. Мы сейчас решим систему уравнений (2.9) при помощи каждого из указанных методов.
Метод Шварцшильда — Шустера. Обозначим через I среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через I — среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз. Эти величины равны
I
=
/2
0
I(,)
sin
d
,
I
=
/2
I(,)
sin
d
.
(2.12)
Умножая первое из уравнений (2.9) на sin d и интегрируя в пределах от 0 до /2, получаем
d
d
/2
0
I(,)
cos
sin
d
=
I
–
S
.
(2.13)
Интеграл в левой части этого уравнения приближённо представим в виде
/2
0
I(,)
cos
sin
d
=
1/2
I
,
(2.14)
т.е. вынесем за знак интеграла среднее значение cos в верхней полусфере, равное 1/2 . Тогда вместо (2.13) будем иметь
1
2
dI
d
=
I
–
S
.
(2.15)
Умножая первое из уравнений (2.9) на sin d и интегрируя в пределах
–
1
2
dI
d
=
I
–
S
.
(2.16)
Второе из уравнений (2.9) при помощи величин I и I переписывается так:
S
=
1/2 [
I
+
I
]
(2.17)
Таким образом, от системы уравнений (2.9) мы приближённо перешли к системе уравнений (2.15)—(2.17), которая решается весьма просто.
Складывая почленно уравнения (2.15) и (2.16) и пользуясь (2.17), находим
I
–
I
=
F
,
(2.18)
где F — произвольная постоянная. Вычитая (2.16) из (2.15) и учитывая (2.18), получаем
I
+
I
=
2F
+
C
,
(2.19)
где C — новая постоянная.
Для определения постоянных F и C обратимся прежде всего к граничному условию (2.10). В данном случае оно означает, что I(0)=0. Находя из (2.18) и (2.19) величину I(0) и пользуясь этим условием, имеем
C
=
F
.
(2.20)
Что касается постоянной F, то она выражается через полный поток излучения H, который постоянен в фотосфере и даётся формулой (2.11). По определению, полный поток излучения равен
H
=
2
0
I(,)
cos
sin
d
.
(2.21)
В принятом приближении
H
=2
1
2
/2
0
I(,)
sin
d
–
1
2
/2
I(,)
sin
d
=
=
[
I
–
I
].
(2.22)
Сравнивая (2.22) с (2.18), получаем
H
=
F
.
(2.23)
Подстановка (2.19) и (2.20) в (2.17) даёт одну из искомых функций:
S
=
F
+
1
2
.
(2.24)
Другая искомая функция I(,) легко выражается через S при помощи первого из уравнений (2.9).
Метод Эддингтона. Умножим первое из уравнений (2.9) на 2 cos sin d и проинтегрируем от 0 до . Пользуясь формулой (2.21), получаем
2
d
d
0
I(,)
cos^2
sin
d
=
H
.