Курс теоретической астрофизики

Соболев Виктор Викторович

Изучение переноса лучистой энергии через фотосферу — основная задача теории фотосфер. Решение этой задачи связано с выяснением строения фотосферы, т.е. с нахождением зависимости плотности, температуры и других физических величин от глубины.

Одним из наиболее важных результатов теории фотосфер должно быть получение распределения энергии в непрерывном спектре звезды. Путём сравнения теоретического и наблюдённого распределения энергии в звёздном спектре можно сделать проверку правильности предположений, положенных в основу теории.

Последовательное развитие теории звёздных фотосфер и атмосфер отражено в книгах Э. Милна [1], С. Росселанда [2], В. А. Амбарцумяна [3].

§ 1. Лучистое равновесие звёздной

фотосферы

1. Поле излучения.

Поскольку наша ближайшая задача состоит в анализе поля излучения в фотосфере, то прежде всего мы должны ввести величины, характеризующие поле излучения.

Основной из таких величин является интенсивность излучения. Эта величина определяется так. Возьмём в данном месте пространства элементарную площадку, перпендикулярную к направлению излучения. Если величина площадки есть d, а излучение падает в интервале частот от до +d в телесном угле d за время dt, то количество лучистой энергии dE, падающее на площадку, будет пропорционально d d d dt, т.е. будет равно

dE

=

I

d

d

d

dt

.

(1.1)

Коэффициент пропорциональности, входящий в эту формулу, и называется интенсивностью излучения. Можно сказать, что интенсивность излучения есть количество лучистой энергии, падающее в единичном интервале частот за единицу времени в единичном телесном угле на единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению излучения. Вообще говоря, интенсивность излучения зависит от координат данной точки, от направления излучения и от частоты . Если интенсивность излучения задана, то легко могут быть определены и другие величины, характеризующие поле излучения. Одной из них является плотность излучения , представляющая собой количество лучистой энергии в единичном интервале частот, находящееся в единице объёма.

Чтобы выразить через I, поступим следующим образом. Допустим сначала, что излучение интенсивности I падает на площадку d перпендикулярно к ней в интервале частот от до +d за время dt внутри малого телесного угла . Тогда количество лучистой энергии, падающее на площадку, будет равно I d d dt . Очевидно, что эта энергия займёт объём d c dt где c — скорость света. Поэтому количество лучистой энергии, приходящееся на единицу объёма, будет равно I d /c. С другой стороны, та же величина по определению равна d Следовательно, в рассматриваемом случае

=

I

c

.

(1.2)

В общем же случае, когда на данный объём падает излучение со всех сторон, плотность излучения выразится формулой

=

1

c

I

d

,

(1.3)

где интегрирование производится по всем телесным углам.

Рис 1.

Через интенсивность излучения легко также выразить поток излучения H, представляющий собой количество

лучистой энергии, протекающей во всех направлениях через единичную площадку в единичном интервале частот за единицу времени. Чтобы сделать это, рассмотрим сначала излучение, проходящее через площадку d в направлении, составляющем угол с её внешней нормалью (рис. 1). В данном случае площадь элементарной площадки, перпендикулярной к направлению излучения, равна d cos. Поэтому количество лучистой энергии, протекающее через площадку d под углом к нормали внутри телесного угла d за время dt в интервале частот от до +d, будет равно I d cos d dt d. Если мы проинтегрируем это выражение по всем направлениям, то получим величину, которая, по определению, равна H d dt d. Следовательно,

H

=

I

cos

d

.

(1.4)

В сферической системе координат с полярной осью, направленной по внешней нормали к площадке d, элемент телесного угла равен d=sin d d, где — азимут направления излучения. Поэтому выражение для потока излучения может быть переписано в виде

H

=

2

0

d

0

I

cos

sin

d

.

(1.5)

Так как cos<0 при >/2, то из формулы (1.5) следует, что поток излучения H является разностью двух положительных величин:

H

=

E

–

E'

,

(1.6)

где

E

=

2

0

d

/2

0

I

cos

sin

d

(1.7)

и

E'

=-

2

0

d

/2

I

cos

sin

d

.

(1.8)

Величина E представляет собой освещённость площадки с одной стороны, а величина E' — освещённость площадки с другой стороны. Таким образом, поток излучения через какую-либо площадку есть разность освещённостей этой площадки.

Отметим важное свойство интенсивности излучения: в пустом пространстве (т.е. при отсутствии в нём поглощения и испускания лучистой энергии) интенсивность излучения не меняется вдоль луча.

Для доказательства этого свойства возьмём на луче две элементарные площадки, расположенные перпендикулярно к лучу на расстоянии s друг от друга. Пусть d и d' — площади этих площадок, а d и d' — телесные углы, под которыми с одной площадки видна другая. Рассматривая лучистую энергию, проходящую через обе площадки, мы можем написать: Id d=I'd' d', где I и I' — интенсивность излучения, падающего на одну и другую площадку соответственно. Но d=s^2d' и d'=s^2d. Поэтому, как и утверждалось, имеем I=I'