Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
Теория поля определяется заданием соответствующего лагранжиана. Если i– поля, фигурирующие в теории, то лагранжиан является функцией от полей i и их пространственно-временных производных i. Лагранжиан L (в действительности L представляет собой плотность лагранжевой функции) принято разбивать на два слагаемых L0 и Lint; при этом член L0 описывает динамику свободных полей (он получается из лагранжиана L, если принять все взаимодействия равными нулю), а член Lint который определяется как разность Lint = L - L0 , описывает взаимодействия между полями.
L
0
=
q
(x)(i
-
m
q
)q(x)
–
1/4
(
B
(x) -
B
(x))
q
a
q
a
x
(
B
a
(x) -
B
a
(x)).
Кроме основных, или элементарных, полей i, фигурирующих в теории (в случае КХД это поля q для кварков и B для глюонов), часто встречаются составные операторы (как правило, это локальные комбинации полей i), т.е. комбинации» содержащие произведения конечного числа полей i и их производных, взятых в одной и той же точке x. Например, в КХД используются операторы токов q(x)q'(x). Конечно, и сам лагранжиан L(х) является составным локальным оператором.
Из локальных полей или из локальных операторов (элементарных или составных) можно образовать новые локальные операторы. Самый простой способ заключается в обычном перемножении операторов. Но имеются два других типа произведений, которые будут неоднократно рассматриваться в дальнейшем, — виковское и хронологическое произведения локальных операторов. Для свободных полей виковское, или нормальное, произведение определяется следующим образом. Разложим поля i по операторам рождения и уничтожения. Результат имеет вид
i
(x)
=
C
(n)
(x)a
n
+
C
(n)
(x)
a
+
,
i
i
n
n
n
где операторы a и a могут совпадать или не совпадать. Например, если поля отождествить с кварковыми полями q , то их разложение имеет вид
q(x)
=
1
d
p
{
e
– ip·x
u(p,)a(p,) + e
ip·x
v(p,)
a
+
(p,)
}
,
(2)
3/2
2p
0
где u и v -
:
1
(x
1
)
2
(x
2
):
n,n'
C
(n)
1
(x
1
)
C
(n)
2
(x
2
)a
n
a
n'
+
C
(n)
1
(x
1
)
C
(n)
2
(x
2
)
a
+
n
a
+
n'
+
C
(n)
1
(x
1
)C
(n')
2
(x
2
)
a
+
n
a
n'
+
(-1)
C
(n)
1
(x
1
)
C
(n')
2
(x
2
)
a
+
n'
a
n
,
Здесь = 1 для фермионов и = 0 для бозонов.
Обобщение определения виковского произведения на большее число сомножителей :1(x1) … n(xn): или на виковское произведение от других виковских произведений типа : ( :1(x1)2(x2): ) ( :3(x3)4(x4): ) : производится непосредственно. Рецепт состоит в следующем: поля разлагают по операторам рождения и уничтожения и, учитывая коммутационные соотношения, переписывают выражение так, чтобы операторы рождения стояли левее операторов уничтожения.
Нетрудно проверить, что виковское произведение локальных операторов, взятых в одной и той же точке, тоже локально3), т. е. если операторы O1,…,On локальны, то и виковское произведение этих операторов :O1(x)…On(x): локально.
3 Оператор O(x) называется локальным, если при преобразованиях Пуанкаре он преобразуется по формуле U(a,)O(x)U– 1(a,) = P·O'(x+a) и коммутирует сам с собой в разных пространственных точках.