Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

B(x) -> e^{– g_aCa}B

Если параметры группы _a представляют собой константы, не зависящие от пространственно-временной точки x, то лагранжиан квантовой хромодинамики, выписанный в гл. I, оказывается инвариантным по отношению к глобальным преобразованиям группы SU(3)^3a), Однако, как мы знаем из квантовой электродинамики (КЭД), эти преобразования полезно обобщить на случай, когда параметры группы _a(x) зависят от пространственно-временной точки x. При этом (локальные) калибровочные

преобразования определяются в виде

^3a Преобразования называют гпобальными, если определяющие их параметры группы представляют собой константы, независящие от пространственно-временной точки x. — Прим. перев.

q(x)

– >

e

^{– ig_a(x)ta}

(3.1а)

Аналогично обобщаются обычные преобразования КЭД для калибровочных полей:

B

(x)

– >

e

^{– ig_a(x)Ca}

B

(x) -

(x)

,

(3.1 б)

или в случае инфинитезимальных преобразований

q

^j

(x)

– >

q

^j

(x)

–

ig

_a

(x)

t

_a

^jk

q

^k

(x),

 

^a,k

(3.1 в)

B

(x)->B

(x)+g

f

 

 

(x)B

–

 

(x).

^a

^a

^abc

^b

^c

 

^a

 

^b,c

В дальнейшем будет предполагаться инвариантность лагранжиана КХД относительно преобразований (3.1) (в действительности лагранжиан (1.11) обладает этим свойством по построению). Это требование приводит к тому, что поля в лагранжиане появляются в строго определенных комбинациях. Из последующего рассмотрения станет ясно, что лагранжиан (1.11) является фактически наиболее общим лагранжианом, инвариантным по отношению к преобразованиям (3.1) и не содержащим констант размерности массы в отрицательной степени (ср. с § 38 и следующими за ним параграфами).

Рассмотрим, как при калибровочных преобразованиях преобразуются производные от полей, например производная q(x). Из (3.1в) вытекает следующий закон преобразования производной:

q

_j

(x)->

q

_j

(x)

 

–

ig

t

_a

 

(x)

q

_k

(x)

^jk

^a

–

ig

t

_a

(

 

(x))q

_k

(x).

^jk

 

^a

Мы

видим, что она преобразуется иначе, чем сами поля. Требование инвариантности лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям приводит к тому, что все производные от полей должны появляться только в ковариантных комбинациях:

D

q

_j

(x)

{

 

– ig

B

(x)t

_a

}

q

_k

(x);

 

 

^jk

 

^a

^jk

 

^k

 

^a

(3.2)

здесь D– так называемая (калибровочная) ковариантная производная. Легко доказать ковариантный характер производной D. С использованием матричных обозначений преобразование для ковариантной производной Dq(x) имеет вид

D

q(x)

 

– >

(x)-ig

t

_a

 

(x)

q(x)

 

 

^a

–

ig

t

_a

(

 

(x))q(x)

– g

₂

B

(x)

t

_a

t

_b

 

(x)q(x)