Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Шрифт:
Еще одним важным свойством виковского произведения является его регулярность. Иными словами, для любых состояний a и b матричные элементы от виковского произведения а| :O1(x1)…On(xn): |b являются регулярными функциями переменных (x1),…,(xn).
Хронологическое произведение, или Т-произведение, локальных (элементарных или составных) операторов O1(x1)…On(xn) определяется следующим образом:
TO1(x1)…On(xn) T{ O1(x1)…On(xn) } = (-1)Oi1(xi1) … Oin(xin)
В
Tq1(x)q2(y) = (x0– y0)q1(x)q2(y) - (y0– x0)q2(y)q1(x)
или
Tq1(x)B2(y) = (x0– y0)q1(x)B2(y) + (y0– x0)B2(y)q1(x)
Следует помнить, что бозонные и фермионные операторы всегда коммутируют и хронологическое произведение операторов релятивистски инвариантно.
S-матрица представляет собой оператор, переводящий векторы, отвечающие свободным состояниям системы в момент времени t=- в векторы, отвечающие свободным состояниям этой системы в момент времени t=+. S-матрица может быть получена из лагранжиана взаимодействия при помощи формулы Мэттьюза
S
=
T exp i
d
4
xL
0
int
(x).
(2.1а)
Здесь L0int(х) — лагранжиан взаимодействия, выраженный через нормально упорядоченные произведения полей, удовлетворяющих тем же коммутационным соотношениям, что и свободные поля. Хронологическая экспонента представляет собой формальное выражение, фактически определяемое разложением в ряд:
S
=
T exp i
d
4
xL
0
int
(x)
1 + i
d
4
xL
0
int
(x) + …
+
i
n
d
4
x
1
… d
4
x
n
TL
0
(x
1
) … L
0
(x
n
) … .
n!
int
int
(2.1б)
Часто
a
|
TJ
(x)J
(y)
|
b
1
2
(2.2)
где J — слабые или электромагнитные токи (см. формулу (1.6)). Для этого заменим лагранжиан Lint слeдyющим выражением:
L
=
L
+ J
(x)
(x) + J
(x)
(x) ,
int
int
1
1
2
2
(2.3)
в котором поля являются c-числовыми вспомогательными полями. Разлагая в ряд, получаем
a
|
T exp i
d
4
x L
int
(x)
|
b
=
a
|
b
+
i
a
|
d
4
x
{
L
0
(x) +
J
0
(x)
(x)
}
|
b
int
i
i
i
+ … +
i
n
n!
a
|
d
4
x
1
…d
4
x
n
T
x
{
L
0
int
(x
1
) +
J
0
i
(x
1
)