Квантовая магия
Шрифт:
Кубитув нашей книге отведена исключительно важная роль, поэтому вернемся к нему еще раз — теперь уже с привлечением матрицы плотности, которая помогает глубже понять, что такое кубит, и более подробно его описывает.
Пространство двух состояний, когда система может переходить из одного состояния в другое (двухуровневая система), является простейшим гильбертовым пространством. Когда система имеет одно состояние, и оно не меняется, то вообще не имеет смысла говорить о применении методов квантовой теории к такой системе и об описании ее в терминах состояний.
Если базисные векторы такого элементарного двухмерного пространства состояний обозначить [93] |0~nи |1~n, то в самом общем виде вектор состояния двухуровневой системы может быть записан в виде:
|~n = a|0~n + b|1~n, (3.9)
где аи b—
93
См. раздел «Вектор состояния» в предыдущей главе. Напомню, состояние |0~n = |^~n = (1,0) Т— это вектор-столбец (спин «вверх»); состояние |1~n = | V~n = (0,1) Т— тоже вектор-столбец, но спин «вниз».
Тогда, исходя из основных понятий квантовой механики, определение кубита звучит достаточно просто: кубит —это вектор состояния двухуровневой системы.
Таким образом, кубит— это минимально возможный (элементарный) вектор состояния. Любой вектор состояния может быть представлен как совокупность таких элементарных векторов, поэтому кубит— первооснова, исходный «кирпичик» для всех других векторов состояния любой размерности.
Подобно тому, как за единицу классической информации принимается бит (0 и 1), так в физике квантовой информации кубитопределяется как единица квантовой информации.
Одним из сложных для восприятия квантовой механики моментов является отсутствие наглядных представлений, когда приходится иметь дело с векторами состояний и матрицами плотности. Как можно сопоставить вектор гильбертова пространства с привычными для нас трехмерными объектами? Один из наиболее простых вариантов такого сопоставления хорошо известен. Это так называемая сфера Блоха. Попытаемся разобраться, что она собой представляет.
В простейшем случае для системы, которая может находиться в двух состояниях (например, «вверх» и «вниз»), матрица плотности имеет размер 2 x 2 и для чистого состояния ( 3.9)она имеет вид:
Существует и более общее выражение для матрицы плотности кубита, не только для того случая, когда он находится в чистом состоянии, как (3.10), но и для смешанного состояния, когда кубитвзаимодействует со своим внешним окружением:
где Е — единичная матрица,
Компоненты
Три проекции вектора поляризации P x, P y, P z, согласно (3.11), полностью определяют матрицу плотности кубита. В случае чистого состояния длина вектора поляризации равна 1, то есть
P x= sin cos ,
P y = sin sin ,
P z = cos ,
и два вещественных параметра (углы и ) однозначно задают вектор состояния (матрицу плотности) кубита.
В случае смешанного состояния длина вектора поляризации становится меньше единицы, то есть
Итак, матрица плотности кубита может быть представлена точкой в нашем привычном трехмерном пространстве. То есть существует взаимно однозначное соответствие между матрицей плотности и точкой шара единичного радиуса. Для чистого состояния (замкнутой системы) — это точка сферы.
Чистые состояния, описываемые одним вектором состояния, соответствуют точкам поверхности сферы Блоха, а смешанные состояния, описываемые матрицей плотности, — точкам внутри шара. При взаимодействии с окружением (при декогеренции), в случае смешанного состояния, вектор состояния как бы погружается внутрь сферы Блоха ибудет описывать уже не окружность, а, например эллипс, что-то похожее на форму яйца. А в самом предельном случае, когда состояние кубита становится максимально смешанным, весь шар, все пространство допустимых состояний, сжимается до отрезка на оси квантования между значениями 1/2 и —1/2. Этот отрезок — тот минимум, который может остаться от кубита, скажем, в самом худшем (или лучшем?) случае.
Такая ситуация, например, имеет место при максимально запутанном состоянии сдругим кубитом. Тогда, как уже говорилось выше [см. выражение (3.5)], матрица плотности одного кубита является максимально смешанной.
В этом проявляется двойственный характер декогеренции: с одной стороны, она приводит к локализации системы, нарушению когерентного состояния, но с другой — взаимодействие с окружением ведет к квантовой запутанности с этим окружением. Можно еще сказать и так: предельно возможнаядекогеренция окружением совпадает с максимальной запутанностью с этим окружением. И реализуется эта ситуация при наличии максимально возможного взаимодействия между кубитами (как в нашем случае), когда они составляют единое целое (максимально запутанное состояние).
Можно задать вопрос: а какое количество информации содержит один кубит? Если с каждой точкой на сфере Блоха, с каждым положением вектора состояния сопоставить определенную информацию, то, как это ни парадоксально звучит, кубитсодержит бесконечный объем информации, и эта информация аналоговая, непрерывная. Кубит, двигаясь по поверхности сферы Блоха, непрерывно изменяет свое состояние, изменяя при этом информацию. Но информация, содержащаяся в кубите, — квантовая . «Считать» с кубита можно только один бит классической информации — либо 0, либо 1.