Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

k

_макс

5,4mc

h

0,8Mc

h

,

где M — масса протона. (Релятивистская теория даёт E = 0,034m при обрезании приблизительно на том же значении k_макс). Именно поэтому мы считаем, что наши сегодняшние представления о квантовой электродинамике (или о «частицах», с которыми взаимодействуют фотоны) весьма неудовлетворительны. Затруднения появляются, когда мы имеем дело с энергиями, большими массы протона, или с соответствующими величинами частот и волновых чисел. Эти трудности связаны с собственными колебаниями, длина волны которых меньше чем 10^{– 14} см.

Согласно

теории Дирака, электрон, спин которого равен 1/2 , должен обладать определённым магнитным моментом. Оказывается, что такому магнитному моменту соответствует отрицательная магнитная энергия, которая почти полностью компенсирует положительную электрическую энергию. Разность этих энергий, как и раньше, расходится, однако теперь только логарифмически. Если в соответствующих интегралах провести обрезание тех же длин волн, что и выше, то поправка к массе электрона составит всего лишь около 3%, однако этого сейчас никак нельзя проверить, так как электрон не имеет нейтрального партнёра.

Аномальный магнитный момент протона так велик, что его магнитная энергия превышает электрическую и поправка может стать отрицательной. Нейтрон также имеет магнитный момент, поэтому поправка для него тоже отрицательна. Однако магнитный момент протона больше, и именно этим можно объяснить тот факт, что нейтрон тяжелее протона. Если расходящиеся интегралы обрезать на величине энергии порядка протонной массы, получается правильное значение разности масс протона и нейтрона, несмотря на очень грубый способ вычисления этой точно измеренной величины M = 782,71 ± 0,40 кэв [25]. Массовые различия между различными частицами — протоном и нейтроном, заряженным и нейтральным пионами, положительным, нейтральным и отрицательным -гиперонами и т.д.— бросают серьёзный вызов современной физике ¹) и, возможно, указывают на недостаточность квантовой электродинамики как полной теории, описывающей электромагнитные явления. Мы не знаем, что на самом деле ошибочно: квантовая электродинамика или наше предположение о распределении заряда внутри частиц. Только когда у нас будет завершённая полная теория частиц и их взаимодействий, мы сможем выяснить ограничения нашей теперешней теории квантовой электродинамики (или, во всяком случае, некоторые из них).

¹) Разработанная недавно теория SU₃– и SU₆– симметрий позволяет вычислить разности масс сильно взаимодействующих частиц (мезонов и барионов) не только для заряженных и нейтральных партнёров, но и для таких, казалось бы, совершенно различных частиц, как нуклон и -гиперон или и k-мезоны. (Подробнее см., например, монографию: В. С. Барашенков, Сечения взаимодействия элементарных частиц, М., 1966.) — Прим. ред..

§ 6. Лэмбовский сдвиг

В соответствии с уравнением Шрёдингера второй уровень атома водорода является вырожденным. Энергии уровней 2p и 2s имеют одинаковое значение. Из уравнения Дирака также следует вырождение уровней 2p _1/2 и 2p _1/2 . В 1946 г. Лэмб и Резерфорд обнаружили, что в действительности наблюдается небольшое дополнительное расщепление, относительная величина которого равна приблизительно 3·10⁶, вследствие чего уровень 2p _1/2 оказывается сдвинутым вверх на 1057,1 Мгц. Теоретики предсказывали, что такая разность энергий может возникать из-за эффектов, обусловленных членом I, однако вплоть до работы Бете и Вайскопфа в 1947 г. бесконечности в расходящихся интегралах сводили на нет все попытки вычислить эту разность. Бете и Вайскопф рассуждали следующим образом.

Прежде всего, поскольку

1

(E_M– E_N– hkc)

=

1

hkc

E_M– E_N

(E_M– E_N– hkc)

–

1

hkc

,

(9.72)

энергия (9.71)

представляет собой сумму трёх членов:

E

=

E'

+

E''

+

E'''

,

(9.73)

где

E'

=

2e^2

m^2c^2

d^3k

(2)^3k^2

 

^N

x

x

(E

_M

– E

_N

)

(

|p

₁

e

^{– ik·R}

|

2

NM

+

|p

₂

e

^{– ik·R}

|

2

NM

)

(E_M– E_N– hkc)

,

(9.74)

E''

=

–

2e^2

m^2c^2

d^3k

(2)^3k^2

 

^N

(

|p

₁

e

^{– ik·R}

|

2

NM

+

|p

₂

e

^{– ik·R}

|

2

NM

)

,

(9.75)

E'''

=

2e^2h

mc

d^3k

(2)^3k

.

(9.76)

Член E''' и бесконечность, связанная с кулоновским членом E_c, не зависят от состояния электрона. Они будут (мы надеемся на это) конечными в будущей теории. К массе покоя электронов эти члены дают поправку m. Если m₀ — механическая масса (т.е. масса неэлектромагнитного происхождения), то реально наблюдаемая экспериментальная масса m=m₀+m, где mc^2=E'''+E_c.

Такую поправку к энергии покоя, составляющей часть полной энергии атома водорода, можно было, конечно, ожидать заранее, однако мы учитываем её автоматически, если все энергии связи измеряются относительно энергии полностью ионизованного состояния, когда все частицы свободны. Поправка m относится к покоящемуся электрону, и она совершенно не зависит от его движения или от каких-либо характеристик состояния, в котором находится этот электрон.

Выражение для E''' можно вычислить из суммы по N которая в соответствии с правилами матричного умножения даёт выражение (p^2₁+p^2₂)_MM. После интегрирования по всем направлениям вектора k отсюда получается член ³/₂(p·p)_MM и, следовательно,

E''

=-

(p·p)_MM

2m

8e^2

3mc^2

d^3k

(2)^3k^2

.

(9.77)

Опять-таки можно надеяться, что когда-нибудь это выражение удастся сделать сходящимся. Такая добавка к энергии существует уже в случае свободного электрона. Интерпретируется она следующим образом: если меняется масса, то выражение для кинетической энергии p^2/2m₀ следовало бы заменить выражением