Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
вак
вак
exp
i
h
S
3
(A,)
+
(-j·A)
d^3R
dt
x
x
DA
D
=
exp
i
h
J
,
(9.100)
где действие J,
J
=
i
[c^2
(R
1
,t
1
)
(R
2
,t
2
)
–
j(R
1
,t
1
)
·
j(R
2
,t
2
)
]
+
[
(t
1
– t
2
)^2
c^2
–
–
|R
1
– R
2
|^2
]
d^3R
1
d^3R
2
dt
1
dt
2
(9.101)
для любых функций и j, зависящих от R и t. В импульсном пространстве соотношение (9.101) запишется в виде (9.89).
Функции и j, которые входят в соотношение (9.98), зависят от q и q; поэтому мы получаем результат в виде
K
(вак-вак)
=
exp
i
h
[S
1
(q)+J(q)]
Dq
,
(9.102)
где функционал J(q) определяется выражением (9.101), куда предварительно должны быть подставлены требуемые значения и j. Таким образом, соотношение (9.102) содержит все основные результаты, относящиеся к переходам между двумя вакуумными состояниями. Изменение действия, относящегося к частицам, под влиянием поля мы учли добавлением функционала J(q). Таким образом, главным результатом, получаемым из соотношений (9.100) и (9.101), является эта наиболее важная формула электродинамики.
Общая формулировка квантовой электродинамики. Интересно также провести исследование в другом направлении, интегрируя вначале по всем координатам материальных тел, а лишь потом по полевым переменным. Мы ограничимся кратким описанием того, что при этом получается. Если в выражении (9.98) начинать с интегрирования по q, то множитель exp[(i/h)S3] можно опустить, так как он не зависит от q. Вводя обозначение
T[A,]
=
exp
i
h
[
S
1
(q)
+
S
2
(q,A,)
]
Dq
,
(9.103)
мы можем (9.98)
K
=
exp
i
h
S
3
(A,)
T[A,]
DA
D
.
(9.104)
Это выражение описывает амплитуду вероятности определённого движения частицы, причём поле также совершает определённый переход из одного состояния в другое. Как и все другие амплитуды вероятности, эта амплитуда представляет собой сумму по всем возможным альтернативам. Каждая отдельная альтернатива выражается произведением амплитуды T[A,], относящейся к движению частицы в некотором поле с определёнными потенциалами A и , и амплитуды вероятности exp(iS3/h) того, что значения потенциалов поля именно таковы; суммирование производится по всем возможным полям A и .
Этот закон, выраженный математически соотношением (9.104), является фундаментальным принципом всей квантовой электродинамики. Его формулировка остаётся в силе даже тогда, когда функционал T[A,], т.е. амплитуду движения частицы во внешнем поле (A,), нельзя представить в виде интеграла по траекториям. Так, например, для релятивистской частицы со спином, описываемой уравнением Дирака, этот функционал нельзя выразить в виде простого интеграла по траекториям с какой-либо разумной функцией действия. Однако выражение для функционала T[A,] можно получить и с помощью других методов, например из уравнения Дирака, а затем найти амплитуду K из соотношения (9.104).
Формулируя основной закон квантовой электродинамики (9.104), мы рассматривали поведение электромагнитного поля отдельно от поведения частицы (или системы частиц), с которой это поле взаимодействует. Сам факт, что такое разделение может быть проделано, является весьма важным результатом. Например, функционал T[A,] может быть связан с поведением атомного ядра, свойства которого известны неполностью. Однако для квантового решения электродинамических задач нам вполне достаточно знать лишь поведение этого ядра в известном внешнем поле.
Разумеется, для непосредственного применения формулы (9.104) необходимо знать функционал T при всех значениях переменных A и ; к сожалению, такая подробная информация редко имеется в нашем распоряжении. Но и тогда, когда мы располагаем точным выражением для функционала, само вычисление интеграла по траекториям может вызвать трудности. Все же практически эта формула очень полезна. В некоторых случаях функционал T может быть аппроксимирован экспонентой типа (9.99) с линейной зависимостью показателя от переменных A и . Тогда интересующий нас результат следует непосредственно из общих выражений (9.100) и (9.101). Чаще функционал T можно представить в виде суммы или интеграла экспонент, зависящих от различных величин и j; тогда формула (9.104) приобретает вид соответствующей суммы или интеграла от выражений, содержащих экспоненту exp [(i/h)J], где J определяется соотношением (9.101) после подстановки надлежащих значений и j.
В большинстве практически важных случаев функционал T можно представить в виде степенного ряда по потенциалам A и . Если считать влияние поля на движение частицы достаточно малым, то несколько первых членов этого разложения могут быть вычислены методами теории возмущений. Найдя таким образом функционал, подставим его в (9.104) и проинтегрируем по A и ; в результате получится разложение амплитуды K по возмущениям (по степеням параметра e^2/hc). Необходимые для этого интегралы вида
A