Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Излучение атома. Одна из трудностей рассматриваемой проблемы заключается в громоздкости выражений, что обусловлено большим числом координат и импульсов. Поэтому, чтобы уяснить суть дела, начнём с простого случая. Будем решать задачу о вероятности излучения света отдельным атомом, применяя теорию возмущений (предполагается, что взаимодействие света и вещества, которому соответствует Sвзаим мало и разложение ведётся только до членов первого порядка малости).
Если пренебречь функцией действия Sвзаим то поле излучения и вещество можно рассматривать как независимые системы. Допустим, что состояния свободного атома с волновыми функциями N(q)
Энергетические уровни полной системы (излучение плюс вещество при отсутствии взаимодействия между ними) равны
E
=
e
N
+
k
(
n
1k
+
n
2k
)
hkc
.
(9.45)
Волновая функция этого состояния записывается в виде произведения
=
N
(q)
(n
1k
,n
2k
)
,
(9.46)
где (n1k,n2k) — волновая функция поля излучения (произведение волновых функций гармонических осцилляторов).
Чтобы рассмотреть излучение фотона атомом, выберем такое начальное состояние, когда атом находится на некотором уровне M, а внешних фотонов нет совсем (все числа n1k и n2k равны нулю). Соответствующая волновая функция равна
i
=
M
(q)
0
,
(9.47)
где 0 берётся в виде (9.43). В конечном состоянии атом находится на другом уровне N и, кроме того, имеется один фотон, скажем, с импульсом l и поляризацией 1. В соответствии с задачей 9.8 волновая функция поля излучения имеет вид a*1l0, поэтому волновая функция конечного состояния всей системы есть
f
=
2lc
h
1/2
N
(q)
a
*
1l
0
(9.48)
Чтобы найти вероятность перехода за единицу времени (с точностью первого порядка), необходимо в соответствии с формулой (6.79) вычислить матричный элемент Vfi возмущающего потенциала между этими состояниями. Функция действия для возмущения определяется формулой (9.32), а соответствующий ей потенциал имеет вид
V
=
4
(
a
*
1k
j
1k
+
a
1k
j
*
1k
),
k
(9.49)
где,
V
fi
=
*
N
*
0
2lc
h
1/2
a
1l
x
x
4
(
a
*
1k
j
1k
+
a
1k
j
*
1k
)
M
0
dq
da
1k
,
k
k
(9.50)
или, в другом виде,
V
fi
=
k
8lc
h
1/2
*
0
a
1l
a
*
1k
0
k
da
1k
*
N
j
1k
M
dq
+
+
k
8lc
h
1/2
*
0
a
1l
a
1k
0
k
da
1k
*
N
j
*
1k
M
dq
,
(9.51)
так как от координат q здесь зависит только ток j. Ожидаемые значения произведения величин a для вакуумного состояния рассматривались в задаче 9.7, где было, в частности, установлено, что интеграл
*
a
a
1l
a
*
1k
0
k
da
1k
=0
есть нуль во всех случаях, за исключением одного, а именно при k=l, когда он равен h/2lc. Обозначим матричный элемент *NjMdq как (j)NM. Тогда матричный элемент - Vfi запишется в виде 2h/lc(f1l)NM. Вероятность перехода за единицу времени при этом равна [ср. формулу (6.94)]