Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

e

^{– (i/h)E_mT}

_mm

=

1-

i

h

V

_mm

T-

i

h

^2

x

x

 

^k

_T

 

_t4

 

e

^{– (i/h)(E_k– E_m)(t₄– t₃)}

dt

₃

dt

₄

V

_mk

V

_km

.

(6.114)

Предположим

сначала, что вырождения нет. Рассмотрим первый член ряда при k=m, который является членом второго порядка. Интеграл в этом члене равен T^2/2. Интегралы в членах с k/=m могут быть также легко вычислены:

e

^{– (i/h)E_mT}

_mm

=

1-

i

h

V

_mm

T-

1

2h^2

V

₂

^mm

T^2

–

–

 

^k/=m

i|V_km|^2

(E_m– E_k)h

T

–

1-exp[-iT(E_k– E_m)/h]

(i/h)(E_k– E_m)

.

(6.115)

Первые три члена в правой части этого уравнения представляют собой просто разложение экспоненты exp(-iV_mmT/h). Первый из суммируемых членов будет пропорционален T, и его можно интерпретировать как изменение энергии во втором порядке разложения. Это означает, что добавка к энергии не просто равна V_mm, а содержит ещё поправки высшего порядка. С учётом поправок второго порядка выражение для сдвига энергии запишется в виде

E

_m

=

V

_mm

–

 

^k/=m

V_mkV_km

E_m– E_k

.

(6.116)

Во втором порядке это равенство даёт точное выражение для сдвигов уровней энергии невырожденных состояний. Следует заметить, что этот результат легче получить обычными методами, т.е. решая уравнение

(H+V)

=

E

.

(6.117)

Более того, обычный подход, основанный на уравнении (6.117), позволяет проще трактовать вырожденные состояния. Однако нашей целью здесь было привести пример использования амплитуды перехода, а не отыскивать простейшие формулы для расчёта энергетических сдвигов.

В действительности имеются более сложные задачи, связанные с изменением энергии, в применении к которым метод амплитуд перехода оказывается наипростейшим. В этих задачах схема, которую мы старались пояснить выше, сводится к нахождению членов ряда, пропорциональных T, T^2 и т.д. Затем, если мы вспомним,

что амплитуда вероятности пребывания системы в начальном состоянии пропорциональна экспоненте exp(-iET/h) и что ряд теории возмущений эквивалентен разложению этой экспоненты, мы сможем написать правильное выражение для E.

До сих пор мы ещё не рассмотрели последний член в формуле (6.115). Если состояние E_k лежит в непрерывном спектре, мы должны определить смысл знаменателей в формуле (6.116). Если мы будем понимать их в смысле главного значения, как мы это делали при рассмотрении членов второго порядка в случае n/=m, то можно показать, что эти дополнительные члены дадут вклад, пропорциональный T, и приведут к поправке в уравнении (6.116)

'E

_k

=

– i

 

^k

(E

_m

– E

_k

)

V

_mk

V

_km

.

(6.118)

Однако эта величина не может быть поправкой к энергии, так как она чисто мнимая, а энергия должна быть действительной величиной. Обозначим эту поправку через -i/2 (множитель 1/2 вводится для удобства) и запишем

E

_k

–

i

2

=

V

_mm

 

^k

|V_mk|^2

E_m– E_k– i

.

(6.119)

Отсюда следует, что амплитуда перехода _mm, означающая, что система очень долго будет оставаться в состоянии m, пропорциональна экспоненте

exp

– i

E

_m

–

i

2

T

=

exp[-i(

E

_m

)T]

exp

–

^T

2

.

Первый множитель здесь определяет сдвиг энергии. Второй множитель легко интерпретировать как вероятность того, что через время T система по-прежнему будет пребывать в состоянии m; эта вероятность равна _mm=exp(-T) и убывает со временем, так как в каждый момент времени имеется определённая вероятность перехода системы из состояния m в некоторое другое состояние. Это означает, что для полной согласованности следует допустить, что величина является полной вероятностью (в расчёте на единицу времени) перехода из состояния m в некоторое состояние, принадлежащее непрерывному спектру при той же самой энергии. Из уравнения (6.118) следует, что

=

 

^k

2

(E

_m

– E

_k

)

|V

_mk

|^2

.

(6.120)

Итак, мы видим, что полная вероятность, отнесённая к единице времени, в точности совпадает с суммой в формуле (6.87), взятой по всем допустимым конечным состояниям (допустимым в рассматриваемом приближении по V.

Величина, обратная , называется средним временем жизни состояния. Строго говоря, состояние с конечным временем жизни не имеет определённой энергии. В соответствии с принципом Гейзенберга неопределённость энергии E=(h/время жизни) т.е. E=.