Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Задача 6.21. Рассмотрим такой частный случай, когда возмущающий потенциал V не имеет никаких матричных элементов, кроме тех, что описывают переходы между уровнями 1 и 2; будем считать, что эти уровни вырождены, т.е. энергия E1=E2. Пусть V12=V21=v, a V11, V22 и все другие матричные элементы Vmn равны нулю. Покажите, что
11
=
1-
v^2T^2
2h^2
+
v4T4
24h4
– …
=
cos
vT
h
,
(6.81)
12
=
– i
vT
h
+i
v3T3
6h3
– …
=
– i sin
vT
h
.
(6.82)
Задача 6.22.
Такие системы колеблются, переходя из одного состояния в другое, и обратно. Отсюда можно вывести некоторые дополнительные следствия. Предположим, что взмущение действует чрезвычайно длительное время, так что VmnT/h >> 1. Тогда, рассматривая систему в произвольный момент времени T (который до некоторой степени является неопределённым), найдём, что вероятности обнаружить систему в первом или во втором состояниях в среднем равны друг другу. Другими словами, если на систему с двумя состояниями, энергии которых в точности равны друг другу, очень долгое время действует какое-то слабое возмущение, то оба эти состояния становятся равновероятными. Этот вывод окажется нам полезен, когда в гл. 10 мы будем рассматривать вопросы статистической механики.
Особенно важен случай, когда допустимые значения энергии конечного состояния Em не являются дискретными, а лежат непрерывно или по крайней мере расположены чрезвычайно близко друг к другу. Пусть (E)dE — число уровней или состояний в интервале энергий от E до E+dE. Тогда можно поставить вопрос об определении вероятности перехода в некоторое состояние этого непрерывного спектра. Прежде всего мы видим, что весьма маловероятен переход в любое состояние, для которого разность энергий En– Em велика; более вероятно, что конечное состояние будет одним из тех, которые расположены вблизи начальной энергии En (в пределах ±Vmn). Полная вероятность перехода в некоторое состояние
m=1
P(n->m)
=
m=1
|V
mn
|^2
4 sin^2[(Em– En)T/2h]
(Em– En)^2
Em
|V
mn
|^2
4 sin^2[(Em– En)T/2h]
(Em– En)^2
(E
m
)
dE
n
.
(6.83)
Величина {4 sin^2[(Em– En)T/2h]/(Em– En)^2}
Фиг. 6.13. Поведение подынтегральной функции.
Разность энергий Em– En выражена переменной x. Когда обе эти энергии становятся приблизительно равными (другими словами, когда x очень мало), функция sin^2x/x^2 достигает своей максимальной величины. Для бо'льших значений разности энергий эта функция становится очень малой. Поэтому во всех выражениях, в которые входит эта функция, основная часть вклада привносится центральной областью, т.е. областью, где энергии Em и En приблизительно равны друг другу.
Если матричный элемент Vmn изменяется не очень быстро, так что мы можем заменить его некоторым средним значением, и если, кроме того, плотность уровней (Em) также изменяется медленно, то интеграл (6.83) можно достаточно точно представить выражением
4|V
mn
|^2
(E
n
)
Em
sin^2[(Em– En)T/2h]
(Em– En)^2
dE
n
.
(6.84)
Так как
–
[(sin^2x)/x^2]dx
=,
то интеграл (6.84) равен T/2h и в результате получаем, что вероятность перехода в некоторое состояние непрерывного спектра выразится в виде
P(n->m)
=
2
|V
mn
|^2
(En)T
h
;
(6.85)
при этом энергия в конечном состоянии останется той же, что и в начальном. Отсюда вероятность перехода в единицу времени мы можем записать как
dP(n->m)
dt
=
2
h
|M
n->m
|^2
(E)
,
(6.86)
где величина Mn->m называется матричным элементом перехода, а (E) — плотность уровней в конечном состоянии. В нашем случае матричный элемент Mn->m совпадает с Vmn если же перейти к более высоким порядкам разложения по mn, то вид этого элемента становится гораздо сложнее.