Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Далее в этой главе мы будем пользоваться подобной аналогией и время от времени будем рассматривать матричные элементы перехода как «взвешенные средние». Необходимо, однако, помнить, что весовая функция в квантовой механике является комплексной величиной и поэтому результат не будет «средним» в обычном смысле этого слова.
Описание броуновского движения методом интегралов по траекториям, как это было показано в нашей классической аналогии, действительно является очень мощным методом. Детально это будет рассмотрено в гл. 12, а сейчас мы с помощью теории возмущений, развитой в гл. 6, попытаемся ещё несколько прояснить смысл матричного элемента перехода.
Случай малых возмущений. Предположим,
e
iS/h
=
e
iS0/h
e
i/h
.
(7.4)
Учитывая теперь соотношение (7.3), запишем матричный элемент перехода (7.2) в виде
|1|
S0+
=
|e
i/h
|
S0
,
(7.5)
а после разложения экспоненты в ряд получим
|1|
S0+
=
|1|
S0
+
i
h
||
S0
–
1
2h^2
|^2|
S0
+… .
(7.6)
Этот ряд является обобщением разложения (6.3) и может рассматриваться как основа теории возмущений. Отсюда можно получить матричные элементы перехода, встречающиеся в целом ряде квантовомеханических задач.
Предположим, что возмущающий потенциал и обусловленная им часть функции действия связаны соотношением
=
V[(t),t]
dt
.
(7.7)
В этом случае в первом приближении получим матричный элемент перехода
|1|
S0
=
|V[x(t),t]|
S0
dt
.
(7.8)
Чтобы вычислить его, нужно взять интеграл
|V[x(t),t]|
S0
=
=
x2
x1
*(x
2
)
e
iS0/h
V[x(t),t]
(x
1
)
dx
1
dx
2
Dx(t)
.
(7.9)
Первый шаг при вычислении этого интеграла в точности совпадает с тем, что мы делали в соотношениях (6.8) — (6.11) при вычислении ядра K(1). Выражение для интеграла по траекториям получается путём интегрирования по координатам обеих конечных точек x1 и x2 и по координатам промежуточной точки x3 [обозначенной
|V[x(t),t]|
S0
=
*(x
2
)
K
0
(2,3)
V(3)
K
0
(3,1)
(x
1
)
dx
1
dx
2
dx
3
.
(7.10)
Мы получили это выражение, основываясь на трёх допущениях: во-первых, применили интегральное правило (3.42) для волновой функции; далее, для написания амплитуды мы взяли выражение (5.31), определяющее вероятность того, что система, находящаяся в каком-то определённом состоянии, может быть найдена и в некотором другом состоянии; наконец, для ядра, описывающего движение системы, употребили первое приближение теории возмущений (6.11). Все это в совокупности определяет матричный элемент перехода (7.10). Квадратмодуля этого выражения представляет собой вероятность того, что система, находившаяся в исходном состоянии , может под действием малого возмущающего потенциала V(x,t) перейти далее в состояние (если это последнее не является состоянием системы при V=0, т.е. если |1|=0).
Соотношение (3.42) позволяет нам ввести сокращённые обозначения подобно тому, как это было сделано в соотношении (6.23) при переходе к выражению (6.25). Определим функцию (x3t3) как
(3)
=
K
0
(3,1)
(x
1
)
dx
1
.
(7.11)
Это — волновая функция в момент t3, возникающая из начальной волновой функции в случае, когда нет возмущения. Аналогично определим функцию
*(x
3
,t
3
)
=
*(x
2
)
K
0
(2,3)
dx
2
,
(7.12)
комплексно сопряжённую волновой функции, которая (при отсутствии возмущения) в момент t3 будет совпадать с функцией (x2) в момент t2 [см. уравнение (4.38) и задачу 4.7].
С помощью вновь введённых волновых функций член первого порядка теории возмущений можно записать более просто:
|
V[x(t),t]
dx
|
S0
=
^3(3)
V(3)
(3)
dx
3
dt
3
,
(7.13)
откуда видно, что амплитуда перехода, представленная в такой форме, является обобщением амплитуды перехода mn, введённой в § 5 гл. 6. Если волновые функции в правой части соотношения (7.13) являются собственными функциями, то результирующая амплитуда перехода будет просто совпадать с амплитудой ^1mn, определяемой соотношением (6.70).