Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
,
(8.77)
где
q
j
=
N
=1
c
a
j
exp(-i
t)
.
Эти координаты будут также комплексными, но поскольку при подстановке этих величин лагранжиан должен быть действительным, запишем его в виде
L
=
1
2
N
=1
(
Q
*
Q
–
2
Q
*
Q
).
(8.78)
Видимо,
Q
=(
Q
c
–
iQ
s
)
1
2
,
Q
c
=
1
2
(
Q
+
Q
–
)
,
(8.79)
Q
s
=
=
i
2
(
Q
–
Q
–
)
,
(8.80)
где изменяется теперь уже только от 0 до N-1. В этом случае такие, например, выражения, как кинетическая энергия, будут иметь вид
1
2
[(
Q
c
)^2
+(
Q
s
)^2
]=
Q
Q
–
=
Q
Q
*
.
(8.81)
Множитель 1/2 возникает в выражении (8.78), поскольку мы суммируем по всем значениям , положительным и отрицательным, учитывая при этом каждый член дважды, так как Q*– Q– = QQ*. Таким образом, квадратичное выражение, полученное ранее для действительных величин, теперь выглядит уже как произведение сопряжённых комплексных чисел [см., например, (8.75)].
Задача 8.3.
q
j
=
1/2 (N-1)
=1
Q
c
2
cos
2j
N
+
1/2 (N-1)
=1
Q
s
2
sin
2j
N
.
(8.82)
Задача 8.4. Выразив начальную волновую функцию через координаты Qc и Qs, покажите, что волновая функция основного состояния, соответствующего лагранжиану (8.78), может быть представлена в виде
=A exp
–
1
2
N
=1
Q
*
Q
,
(8.83)
где A — постоянная.
Задача 8.5. Матричный элемент перехода, в котором используется одна и та же волновая функция для начального и конечного состояний, называется ожидаемой величиной 1). Таким образом, ожидаемая величина функционала F в состоянии , заданном выражением (8.83), равна
0
|F|
0
=
…
*
0
F
0
dQ
0
dQ
1
…
dQ
N
.
(8.84)
1) Сравните это определение ожидаемой величины с определением ожидаемого значения оператора в § 3 гл. 5 [см., в частности, формулу (5.46)].
Покажите, что имеют место следующие ожидаемые величины:
0
|
Q
|
0
=
0
|
Q
*
|
0
=0,
0
|
Q
2
|
0
=
0
|
Q