Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
)
–
(q
j
– q
j-1
)
]
(8.68)
для всех j за исключением крайних значений j=1 и n=N. Тот факт, что частицы, расположенные в концах системы, должны рассматриваться отдельно, в большинстве задач приводит лишь к незначительным трудностям. Обычно интересуются такими свойствами движений (а тела можно считать настолько большими), что влиянием поверхностных (или граничных) эффектов можно пренебречь. В таких случаях основные результаты действительно не будут зависеть от реальных граничных условий, т.е. от того, будут ли граничные атомы свободными или связанными, и т.д. Чтобы вообще
Смысл его состоит в том, что цепочка атомов продолжается и дальше, за N-й атом, причём предполагается, что смещение (N+j)-го атома всегда точно совпадает со смещением j-го атома. Таким образом, граничное условие можно записать как
q
N+1
=
q
1
,
q
N+1
=
q
1
.
(8.69)
Такое граничное условие заведомо будет выполняться, если исходную цепь атомов замкнуть в кольцо, подобно ожерелью из жемчужин. Однако в трёхмерном случае это уже невозможно, и граничные условия необходимо рассматривать только лишь как некоторый искусственный приём.
Таков смысл наших специальных граничных условий. Более общие случаи, например когда крайний атом связан с твёрдой стенкой или же остаётся свободным и т.д., сопровождаются отражением волн, пробегающих по системе. Такого отражения не будет лишь в случае, когда крайний атом взаимодействует с атомом другой системы, имеющей аналогичные характеристики.
Таким образом, наши граничные условия можно сравнить с введением некоторой линии, сопротивление которой подавляет отражение. Подобное сопротивление, по сути дела, эквивалентно наличию некоторой бесконечной дополнительной линии. В нашем случае мы согласуем один конец системы с другим, связывая её в кольцо. Эти граничные условия мы называли периодическими, поскольку все происходящее в k-й точке системы повторяется снова в N+k-й точке, ещё раз в 2N+k-й и т.д. При таком граничном условии уравнение (8.68) удовлетворяется для всех атомов системы.
Решение классических уравнений движения. Предположим, что смещение q периодически повторяется с частотой . Тогда нам нужно решить систему уравнений
^2
q
j
=
^2
(
q
j+1
–
2q
j
+
q
j-1
).
(8.70)
Мы можем свернуть эти уравнения в определитель и преобразовать полученное детерминантное уравнение так, чтобы применить для отыскания решения известные теоремы математики. Однако ясно, что данные уравнения могут быть решены непосредственно, и это легче всего проделать указанным ниже способом.
Договоримся, что символ i будет означать лишь -1, и не будем применять его для обозначения индексов. Решение имеет форму
q
j
=
Ae
i(j-t)
=
a
j
e
– it
,
(8.71)
где — некоторое постоянное. Это решение может быть проверена непосредственной
^2
=
^2
(
e
i
– 2+
e
– i
)
=
4^2sin^2
2
.
(8.72)
Мы определили величину , выразив её через . Однако некоторые значения здесь выброшены. Периодическое граничное условие требует, чтобы =2/N где =0, 1, 2,…,N-1 (случай =0 соответствует простому сдвигу цепочки, и мы можем, если пожелаем, не рассматривать его; более того, случай =N+' совпадает с тем, что происходит при ='). Таким образом, для любого частного значения можно выразить частоту в виде
=
2 sin
N
(8.73)
Амплитуда j-координаты, соответствующая этой частоте, равна
a
j
=
Ae
i2j/N
.
(8.74)
Постоянные aj, определённые последним соотношением,— комплексные числа. Вместо них можно было бы ввести действительные величины, комбинируя решения для и - (или для и N-). Однако нам удобнее оставить их в комплексной форме. Кроме того, нам будет удобно рассматривать как положительные, так и отрицательные значения ; при этом следует учесть, что если N является нечётным, то для рассмотрения области изменения лучше взять пределы от - 1/2 (N-1) до + 1/2 (N-1), нежели от 0 до N-1.
Относительные смещения атомов цепочки зависят от величины . Например, для двух значений , одно из которых мало, а другое соответствует величинам порядка N/2 мы получим различные картины движения, как это показано на фиг. 8.3.
Фиг. 8.3. Два случая колебаний.
Сдвиг атомов вдоль цепочки изображается смещениями по ординате от линии равновесного положения атомов j, равномерно распределёнными вдоль оси абсцисс. Наверху длина волны велика по сравнению с расстоянием между атомами ( мало); внизу =N/2 и смещения уже не имеют вида гладкой синусоидальной волны.
Относительная величина постоянных aj определена выражением (8.74), но у нас ещё остаётся свобода в выборе нормировки, т.е. в определении константы A. Найдём её значение из нормировочного соотношения, аналогичного соотношению (8.48), т.е. выберем A так, чтобы
N
j=1
a
*
j
a
j
=
;
(8.75)
отсюда следует
A
=
1
N
(8.76)
Теперь мы уже можем по аналогии с выражением (8.42) выразить различные моды через нормальные координаты:
Q
=
N
j=1
a
j
q
j
=
N
j=1
qj
N
e
ij·2/N