Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
*2
|
0
=0,
0
|
Q
*
Q
|
0
=
1
22
0
|1|
0
,
0
|
Q
*
Q
|
0
= 0
при /=.
(8.85)
Таким
Задача 8.6. Покажите, что константы aj будут теми же и тогда, когда связь атомов осуществляется не непосредственно с ближайшими соседями, а имеет некоторое протяжение и данный атом посредством постоянной взаимодействия k оказывается связанным с удалённым от него k-м атомом. Предполагая, что величина k быстро убывает с ростом k, определите частоту при наличии подобной связи, т.е. когда потенциальная энергия определяется уже не выражением (8.66), а другим, подобным ему, но учитывающим относительные смещения всех возможных пар (каждое из которых умножается на соответствующее k), т.е.
V=(^2/2)
k
(q
k+j
– q
j
)^2
.
k
j
§ 5. Приближение непрерывной среды
Параметры мод, которые мы определяли до сих пор, соответствуют случаю, когда каждый атом совершает колебания с некоторым фазовым сдвигом по отношению к другому атому рассматриваемой цепочки, т.е. когда по цепочке атомов бежит волна колебаний. Если фазовый сдвиг между соседними атомами мал, то длина волны велика.
Поведение атомов в таких длинноволновых модах представляет особый интерес. Если длина волны существенно превосходит расстояния между атомами, то этими расстояниями можно пренебречь. В таком случае движение очень хорошо описывается с помощью модели «непрерывной среды». Цепочка атомов здесь может быть представлена как непрерывный стержень с усреднёнными определённым образом свойствами, такими, как масса, приходящаяся на единицу длины =1/d. (вспомним, что массу каждого атома мы положили равной единице). Разумеется, с физической точки зрения реальный стержень на самом деле является дискретным набором атомов. Однако в этом параграфе мы будем рассматривать приближение непрерывной среды, заменив цепочку атомов сплошной струной.
Для некоторой моды с индексом фазовый сдвиг между смежными атомами равен 2/N, так что волна охватывает N/ атомов; если d — расстояние между соседними атомами при равновесии, то длина волны равна =Nd/. Волновое число
k
=
2
=
2
Nd
.
(8.86)
Волновой подход позволяет математически более чётко представить ceбe движение, но для этого нужно немного изменить обозначения. Каждой моде мы припишем своё значение k взамен употреблявшегося ранее индекса . Тогда суммирование по модам (по индексам ) перейдёт в сумму по дискретным величинам k, которые будут целыми числами, умноженными на 2/L (где L=Nd — полная длина струны). Предположим, что xj=jd определяет равновесное положение j-го атома. Тогда уравнения,
a
jk
=
1
N
e
ikx
,
(8.87)
Q
k
=
1
N
N
j=1
q
j
e
ikxj
,
(8.88)
q
j
=
1
N
N
k=1
Q
k
e
– ikxj
(8.89)
и
k
=
2 sin
kd
2
.
(8.90)
Предположим теперь, что расстояние между атомами очень мало по сравнению с длиной, на которой происходит изменение возмущения. Выше мы уже видели, что условием такой ситуации является kd<<1. Если обозначить произведение d=c, то для малых kd. имеем kc. В этом случае можно представлять себе координаты qj как функции, описывающие положение атомов в цепочке, т.е. определять смещение j-го атома, как это показане на фиг. 8.3. В случае длинных волн смещения q(xj) и q(xj+1) приблизительно равны, и мы можем рассматривать функцию q(x) как гладкую непрерывную функцию положения атома в цепочке. Нормальная координата Qk является фурье-образом функции q(x), т.е. уравнение (8.88) можно заменить на
Q(k)
=
N
L
L
0
q(x)
e
ikx
dx
.
(8.91)
Эта замена основывается на приближённом соотношении
N
j=1
j
N
L
L
0
dx
,
(8.92)
которое выполняется тем точнее, чем меньше расстояние между отдельными точками. Подобное же соотношение, а именно
N
k=1
k
L
2
2/d
0
dk
,
(8.93)
приводит нас к обратному преобразованию
q(x)
=
L
2N
2/d
0
Q(k)
e
– ikx
dk
.
(8.94)
Чтобы представить величины в их непосредственном физическом смысле, положим реальное значение смещения j-го атома равным uj, т.е. qj=muj, где m — масса атома, равная d. Пусть U — фурье-образ величины u, т.е.