Личность и Абсолют

Лосев Алексей Федорович

Это–то и называется энергией сущности, когда вся развернутая мощь этой последней не переходит реально и субстанциально в инобытие и не рассыпается, не умирает в нем, но пребывает вся собранной в одном нерасторгнутом мгновении, в одной неделимой точке, в одном никогда не достижимом для инобытия пределе, в одном бесконечно напряженном заряде, который ежемгновенно готов излиться в инобытие и заполнить его целиком, но не изливается, а пребывает в себе в своем абсолютном покое, в своей смысловой перегруженности. Это же свойство сущности можно назвать и ее эманацией, понимая под последней переход сущности в алогическое инобытие, но в такое инобытие, которое, будучи готово оплодотворить каждый момент инобытия, однако, пребывает в своей идеально–телесной собранности и в себе покоящейся вечности.

Таково трансцедентное число.

3. Легче проследить сущность трансцедентного числа на его эманативных функциях, взятых реально. Допустим, что эманация трансцедентного не остается в своей самозамкнутости, но реально изливается в инобытие, и спросим, что мы в этом случае должны назвать трансцедентным. Тут три вопроса: 1) что такое инобытие как результат эманации, 2) что такое трансцедентное как излившее эманацию и 3) каково отношение между тем и другим?

a) Что такое инобытие как результат эманации! Если бы трансцедентное никак не эманировало бы, то инобытие было бы чистым нулем. В самом деле, трансцедентное число вместило в себя все возможное инобытие; следовательно, на долю инобытия не осталось ничего, остался нуль. Но мы берем теперь трансцедентное в его реальной

излиянности на инобытие. Что же именно тут изливается? Изливается само оно, трансцедентное. Но ведь оно—предел бесконечности. Значит, изливается сама бесконечность. А это значит, что инобытие из нуля становится бесконечностью. Если эту инобытийную бесконечность взять как таковую, непосредственно, забывая о ее связи с первоисточником, откуда она произошла, то она предстанет перед нами вполне самостоятельно, т. е. прежде всего как положительная бесконечность. Однако это было бы абстрактной точкой зрения на инобытийную бесконечность; это значило бы судить по поверхности, не заглядывая в глубину вещи. Итак, инобытийная бесконечность не есть бесконечность просто, но именно инобытийная бесконечность, т. е. бесконечность, инобытийная к той, первообразной, бесконечности, откуда она произошла. Это значит, что она, как мяо–бытийная, есть отрицательная бесконечность.

b) Второй вопрос: что же такое трансцедентное число после того, как оно излило из себя бесконечность, ставшую инобытийной, отрицательной бесконечностью? Об этом можно было бы говорить путем ясного раскрытия того хэодержания, которое осталось в трансцедентном после эманирования бесконечности в инобытие. Но мы сейчас стоим на другой позиции. Мы забываем наше полное определение трансцедентного числа и хотим найти это число из обследования эманативных результатов трансцедентного. Мы не знаем, что такое это трансцедентное число, и назовем его каким–нибудь или . И мы только формально спрашиваем: что делается с этой , если мы заставим ее реально излить из себя бесконечность в инобытие? Очевидно, в трансцедентном нечто останется, так как излившееся есть только бесконечность, а трансцедентное есть вовсе не просто бесконечность. Это такая бесконечность, которая вместила в себя все свое инобытие, и притом многомерное инобытие, охвативши и себя и его в некоем целостном, покоящемся пределе. Но, повторяю, не станем пока входить в категориальную структуру того, что в трансцедентном «осталось». Мы просто исключим из некоей гипотетической отношение некоего числа к бесконечности. Ведь трансцедентное, сказали мы, эманировало из себя бесконечность. Следовательно, включая в себя свою многоразличную соотнесенность с инобытием (и притом с бесконечным инобытием), оно после эманирования бесконечности должно исключить из себя отношение к этой бесконечности. Раз бесконечность оттуда излилась в инобытие, следовательно, исчезло там и это простое взаимоотношение с бесконечностью. Это и все. Но тут и возникает самый главный вопрос.

с) Каково же отношение между трансцедентным, излившим из себя бесконечность в инобытие, и самим этим инобытием, ставшим бесконечностью, и, показано выше, отрицательной бесконечностью? Тут волей–неволей придется коснуться и категориального раскрытия того, что осталось в трансцедентном после исключения из него соотнесенности с бесконечным. Спросим себя: сделалось ли оно от этого менее бесконечным, т. е. может ли оно стать от этого конечным? Разумеется, нет, потому что трансцедентное есть такая бесконечность, которая охватывает все свои многомерно–инобытийные судьбы в пределе. Это значит, что оно может порождать из себя целую бесконечность разных инобытий–бесконечностей и все же от этого не изнурится. Но тогда что же это такое — «оставшееся» в трансцедентном после эманирования из него бесконечности? Раз мы исключили отсюда соотнесенность с инобытийной бесконечностью, то, очевидно, в нем останется та же самая мощь бесконечных эманаций, но только, ввиду произведенного исключения, мы не будем эту мощь относить к какому–нибудь инобытию, а будем брать ее как таковую, в чистом виде. После произведенного исключения в трансцедентном останется только самая способность вечного порождения, останется бесконечная мощь бесконечных эманаций, бесконечная мощь бесконечных самовоплощений, или бесконечного роста, или иначе—бесконечная степень бесконечности.

Определивши так «остаток», спросим себя опять: в каком же отношении находятся между собою этот «остаток» и отрицательно–инобытийная бесконечность? Что нужно сделать с этой отрицательной бесконечностью, чтобы превратить ее в тот «остаток», который образовался в трансцедентном? И что нужно сделать с этим «остатком», чтобы превратить его в отрицательную бесконечность? Очевидно, и в том и в другом случае надо опять проделать бесконечный процесс, в первом случае, чтобы дорасти до трансцедентного «остатка», во втором случае, чтобы умалиться до отрицательной бесконечности. Если есть действительно трансцедентное число, то, даже исключивши из него его соотнесенность с бесконечностью, мы все же получаем из него нечто такое, до чего отрицательное инобытие должно дорастать еще целую бесконечность времени. Во всяком трансцедентном всегда содержится так или иначе бесконечность в бесконечной степени, ибо мы ведь так и определяем трансцедентное: оно содержит в себе 1) инобытие, 2) инобытие инобытия и 3) то и другое как бесконечности в пределе. Значит, это всегда есть бесконечность, бесконечное число раз повторившая себя в себе. Поэтому, извлекая из нее простую «одномерную» бесконечность, мы всегда найдем, что эту простую бесконечность надо еще возвысить в бесконечную степень, чтобы она сравнялась с трансцедентным числом.

4. Следовательно, результат наших поисков трансцедентного числа таков. .Если по исключении из некоего числа соотнесенности с бесконечным оно все же в бесконечной степени превосходит отрицательную бесконечность, то число —трансцедентное число.

Теперь обратимся к тому, что дает математика.

§ 111. Трансцедентное число (математическая конструкция).

1. История математического исследования трансцедентных чисел весьма несложная. Хотя с трансцедентными числами и математики оперировали издавна, но до 40–х годов прошлого века сущность этого типа числа совсем не изучалась. Только в 1844 г. французский математик Liouville впервые установил достаточный (хотя все еще не необходимый) признак трансцедентности числа. Он же доказал, что число е, основание натуральных логарифмов, не может быть корнем никакого квадратного или биквадратного уравнения с целыми коэффициентами [882] . Эрмит в 1873 г. доказал трансцедентность е на основании т. н. эрмитовского интегрального тождества [883] , применяя свой громоздкий аппарат (впоследствии упрощенный [884] ). Только в 1882 г. Линдеман [885] доказал трансцедентность , а в 1885г. Вейерштрасс [886] .значительно упростил это доказательство, сделавши к тому же вывод о трансцедентности тригонометрических функций (Sin, если со-—алгебраическое число). [887] Кроме того, в 70–х годах Г. Кантор дал замечательно простое доказательство существования трансцедентных чисел вообще [888] . Он установил два тезиса: 1) множество всех действительных чисел имеет мощность континуума, и 2) множество всех алгебраических чисел есть счетное множество. Отсюда сам собой получается вывод, что алгебраические числа не заполняют собою всего континуума вещественных чисел и что должны существовать еще и не алгебраические, хотя все–таки действительные числа. Эти вещественные, но не алгебраические числа и есть трансцедентные

числа, причем [их] бесконечно больше, чем алгебраических. К этому учению можно было бы, конечно, добавить, что все трансцедентные числа тоже еще не составляют континуума, а образуют опять только счетное множество (что легко выводится из счетности коэффициентов дифференциального уравнения для каждого данного л–го положения трансцедентного числа, разлагаемого в алгебраический ряд). Поэтому должны существовать еще какие–то особые числа для заполнения всего вещественного континуума. Эти числа назвали гипертрансцедентными, но, кажется, до последнего дня [о них] ничего не сказано ясного.

882

Journal des Mathematiques purget appliques. Т. XV и XVI (1–я сер.).

883

Contel Rendus, 1873, vol. 77, стр. 18—24, 74—79,226—233, 285—293, а также в Собр. соч. 1912. Т. , 150 слл.

884

Шльберрем. — Mathem. Annal. 1893. Т. 43.

885

Sitzungsber. d. Berl. Akad. 1882, 679 и Mathem. Annal. 1882. 20, 213.

886

Sitz. d. Berl. Akad. 1885.

887

Хорошее изложение разных доказательств—у К. А. Поссе. О трансцедентности чисел е и . Известая Технологического Института. 1894.

888

Crelles Journ. Т. 77. 1873.

Кроме указанных авторов заслуживают упоминания в интересующей нас проблеме только три автора, все уже XX века. Это Э. Борель [889] , Д. Д. Мордухай–Болтовский [890] и А. Ф. Гельфонд [891] .

Несмотря на то что вся эта литература не очень обширна, дать логический анализ всех этих учений можно только в большом специальном исследовании. Мы извлечем отсюда только наиболее принципиальные установки, чтобы вышеизложенная философия трансцедентного числа не повисла, в математическом смысле, в воздухе. А именно, 1) мы рассмотрим признак Лиувилля для трансцедентности числа. Затем 2) мы дадим характеристику главнейших представителей этого числа, т. е. Неперова числа е и числа . При этом 3) придется коснуться и некоторых трансцедентных функций (к которым относятся прежде всего показательная, логарифмическая и тригонометрические), хотя специальному обследованию они должны быть подвергнуты, конечно, не в арифметике. Наконец, 4) огромный логический интерес представляет проблема взаимоотношения общетрансцедентальных, алгебраических (в частности, комплексных) и тригонометрических функций и чисел.

889

Comptes rendus. 1899. Т. 78. Ср. уточнения у Popken. Mathem. Zeitschr. 1929, Т. 29.

890

К теории трансцедентных чисел. Протоколы О–ва Естествозн. при Варш. Универс. 1913, и О некоторых свойствах транец, чисел первого класса. — Матем. сб. 1927. Т. 34, 55—100, где автор дает очень интересные построения (напр., определение транец, чисел при помощи корней ряда уравнений с целыми коэффициентами в условиях роста степеней и высот).

891

Давший целый ряд знаменитых построений, напр., доказавший теоремы Эрмита и Линдемана и решивший Гильбертову проблему трансцендентности еп и др. при помощи теорий конечных разностей и комплексного переменного (Очерк истории и современного состояния теории транец, чисел. — -Естествозн. и марксизм. 1930, 1/5, 33—55). Он же нашел и необходимый признак тр[ансцедентного] числа. — О необходимом и достаточном признаке трансцедентного числа. МГУ. Учен, записки. 1933.1, 6—8.

2. а) Итак, остановимся прежде всего на достаточном признаке трансцедентности числа по Лиувиллю. В указанных работах этот математик исходит для разыскания такого признака из абсолютной величины отклонения трансцедентного числа от рациональной дроби,

которая его приближенно выражает. Если алгебраическое число определяется неприводимым уравнением w–й степени, то для достаточно большого q мы имеем

x —

>=

где А > 0 и не зависит от q. Это условие, очевидно, неоОходимо для того, чтобы число было алгебраическим. Оно, конечно, не есть еще достаточное условие. Но тогда отсюда можно получить условие для трансцедентности числа, которое будет, наоборот, достаточным, но не необходимым. Если, какое бы ни было , мы имеем, при достаточно большом q, что

x —

<

то уже не сможет быть алгебраическим числом. Оно будет трансцедентным. На основании этого неравенства можно так формулировать достаточный признак трансцедентности числа :

Я утверждаю, что эта формула есть не что иное, как точный математический дублет к развитому выше учению о трансцедентном и об его эманациях в инобытие (§ 110, п. 2—3).

b) В самом деле, что мы тут имеем? Мы тут имеем 1) отношение двух целых чисел

т. е. некое p взято в своем соотношении со своим инобытием q. 2) Это q тут не остается стабильным; оно меняется, получая последовательный ряд все новых и новых значений, т. е., другими словами, раз взятое инобытие переходит в свое собственное инобытие и изучаемое отношение становится развернуто–инобытийным. 3) Далее, это соотношение должно быть прибавлено к тому числу, которое претерпевает все эти соотношения. Так оно и будет, когда мы развернем трансцедентное число в ряд. Но тут нас интересует позиция, обрисованная в предыдущем параграфе, п. [892] 3, т. е. мы только ищем эту трансцедентную , уже содержащую в себе данное соотношение. И поэтому, согласно указанной позиции, мы вычитаем это соотношение из и получаем —

892

Здесь и далее «п.» значит «пункт».

4) Однако, чтобы определить согласно этой позиции, мы должны посмотреть, каково отношение этого трансцедентного «остатка» к инобытию, которое из него эманировало. Поскольку мы соотносили с q и поскольку q у нас менялось, мы теперь должны сказать, что если из эманировала действительно бесконечность, то q должно у нас получить в конце концов значение бесконечности; q должно стремиться к бесконечности. Только тогда

будет на самом деле изображать собою соотнесенность с бесконечностью.