Личность и Абсолют
Шрифт:
5. а) Выше (п. Зb) мы получили чисто аналитически, что
e xl= cosx+ismx.
Получивши это выражение аналитически, мы в нем ровно ничего не понимали, оставаясь только при голом факте загадочного и таинственного вывода. Последующее показало нам, что такое e xi. Теперь посмотрим, что такое правая часть этого равенства и в чем заключается ее смысл. Это и есть вопрос о сущности тригонометрических функций.
Взглянувши на [рис. 9 ], мы сразу начинаем догадываться, что если угол РОЛ считать за х, то ОМ есть cosx, a MP есть sin* (или, имея в виду концепцию Гаусса, MP=isin л). Отсюда нетрудно вывести и формулы Эйлера. Меняя xi на (—), имеем
е …xi=cos —isin ,
причем под (—) надо будет, очевидно, понимать угол МОР, а под его sin—перпендикуляр МР 1. Отсюда, решая оба эти уравнения относительно cos. и sin , мы получаем окончательно:
что имеет вполне ясный не только аналитический, но и геометрический
В чем же, теперь, философский смысл этих формул Эйлера?
b) Обратим прежде всего внимание на то, что мнимая степень е может быть понята как комплексное число. Другими словами, всякое комплексное число может быть понято как мнимая степень е, т. е. как выразительная эманация трансцедентного. Но комплексное число, как мы знаем (§ 107), есть перспективный символ. Следовательно, всякая перспектива обязательно таит в себе эманацию трансцедентного; и трансцедентное эманирует, в выразительном смысле, перспективно. Когда мы имеем просто е, то перед нами тут некое бытие, овеянное тающими энергиями смысла, но эти энергии еще положены как выразительный образ. Когда же мы имеем мнимую степень е, то исходящие из него смысловые энергии складываются в некую образную положенность, в некое выразительное самообрекание, и это есть перспективная структура эманаций трансцедентного. Всматриваясь в эту перспективную выразительность, мы отчетливо видим начальный пункт этой перспективы и отчетливо видим ее конечный пункт. Также перспектива существует только там, где видны малейшие изгибы перспективных линий и зрительно–выразительная судьба всей вещественной предметности, втянутой в эту перспективу. Когда трансцедентное реально изливается в инобытие, оно превращает свою идеально выразительную, смысловую перспективу в вещественную и субстанциальную стихию действительности; тогда оно теряет свою мнимость, спиралевидным вихрем изливаясь в реальность. Но пока оно не изошло вовне, а только еще бурлит в себе смысловыми энергиями самопроявления, оно содержит всю свою возможную инобытийную образность в своем собственном умном теле, содержит ее пока только лишь как цель, как идеал, как отраженную только в самой себе действительность. Но это и значит, что трансцедентное покоится в себе кругообразно, играя образами перспективных самоотражений. Тут–то и залегает целый ряд трансцедентных функций—тригонометрических, гиперболических, эллиптических, — из которых нас интересуют именно тригонометрические.
Из предыдущего ясно, что тригонометрический косинус в комплексном представлении мнимой степени е есть не что иное, как вещественная часть, а синус—коэффициент при мнимой части комплекса. Другими словами, линия косинуса является как бы тем началом, откуда мы считаем перспективу, а линия синуса—тем направлением, в котором мы созерцаем перспективу. Эманационно возникшая перспектива имеет ведь свою структуру, определяемую известным изгибом линий и тем или другим расположением точек. Синус есть измеритель расстояния перспективной точки от линии отсчета, как бы расстояние отраженной в зеркале точки от поверхности зеркала. Косинус же есть отображение перспективной точки на линии отсчета; это—проекция модуля комплексного числа на неподвижный радиус. Когда мы имеем просто е хмы, с увеличением х, все больше и больше раскрываем угол, т. е. все больше и больше выявляем внутреннее содержание круга, как бы все больше и больше захватываем пространство в идеально выразительном теле трансцедентности, все шире и шире заполняем эманацию трансцедентного выразительным оформлением. Ясно, что здесь начинает рисоваться образ трансцедентности, который как–то должен быть зафиксирован и зафиксирован не мертво и устойчиво, но—энергийно, в точной связи с раскрываемым эманационным содержанием. Тригонометрические функции как раз и призваны дать ориентацию в этом эманационном образе трансцедентного. Синус указывает на размеры и направление раскрывающейся в этом образе перспективности, а косинус интерпретирует ее с точки зрения ее исходного пункта. Синус—это перспектива с точки зрения ее конечного пункта, а косинус—перспектива с точки зрения ее начального пункта.
с) В настоящем месте нашего исследования мы, однако, не станем развивать подробно теорию тригонометрических функций, так как их удобнее будет рассмотреть в другом месте. Ясно, что если мы усвоили себе этот исходный пункт, то можно будет подвергнуть философской интерпретации и прочие четыре тригонометрические функции, так как тангенс есть только отношение синуса и косинуса, а котангенс, секанс и косеканс есть только обратные функции соответственно тангенса, косинуса и синуса. Но нам необходимо было прикоснуться к тригонометрическим функциям хотя бы слегка, чтобы проследить диалектическую судьбу трансцедентного числа е.
6. [900] К вышеизложенному я бы прибавил еще очень важное заключение, дающее возможность проверить и уточнить наше рассуждение о трансцедентном. Если мы в комплексном выражении e xiбудем понимать =, т. е. как численную величину угла в 180°, то, принимая во внимание, что cos 180°= — 1, a sin 180°=0, мы получим
e ni= — 1, e 2ni= l.
Как ни элементарно это заключение математически, в философском отношении оно чрезвычайно инструктивно для суждения о е, и L Предоставляя читателю самому продумать эти <…> [901] на основании предложенной формулы, мы укажем только на то, что единственный путь к их осмысленному применению вместо обычной математической схоластики заключается в идее разделения круга на равные части, т. е. в идее вращения радиуса на те иди иные углы. А это есть идея раскрытия внутреннего содержания круга в виде смыслового образа, т. е. идея завершенной идеально выразительной эманации трансцедентного. Эманация ведь, как мы вывели выше (п. 4 b), совершается или спиралевидно,
900
В рукописи номер пункта: 5. Последующие пункты также перенумерованы нами.
901
Одно слово разобрать не удалось.
7. Укажем еще на философский смысл того обстоятельства, что производная от функции е хравняется тому же самому е х. В чем тут дело? И какое это может иметь для нас значение?
Это, несомненно, имеет для нашей теории огромное значение. И понятным оно может сделаться для нас только в том случае, если мы будем иметь в виду наше общее учение о трансцедентности. Трансцедентное, учили мы, уже включает в себе все свои инобытийные возможности; следовательно, никакое инобытие не может внести в него никакого изменения. Поэтому, взявши эманационный аспект трансцедентного, т. е. е х=у, и фиксируя царящее здесь отношение между и у, мы и в сфере инобытия'данной трансцедентности найдем это отношение непоколебленным (а производная и есть закон инобытийного соотношения аргумента и функции). Таким образом, разгадка производной от функции е хзаключается в инобытийной эманативности трансцедентного.
8. Наконец, уясняется из всего предлагаемого учения и подлинное диалектическое место логарифма. Если логарифм числа есть показатель степени, в которую нужно возвысить е, чтобы получить число, то ясно, что логарифм указывает на некоторый метод инобытийного роста е, т. е. на тот или иной способ эманации трансцедентного. Это есть как бы фиксация возраста инобытия, возрастающего в результате трансцедентных эманаций, или скорости его возрастания. Тригонометрические функции раскрывают нам размер и направление эманативной перспективы, логарифмическая функция говорит нам о скорости ее нарастания. Наконец, простая показательная функция свидетельствует о скорости или возрасте инобытия, эманированного вообще из недр какого бы то ни было числа.
Разумеется, различение Неперовых и Бригговых логарифмов [902] не может иметь принципиального значения для настоящего исследования, и его не следует тут обсуждать.
1. а) Алгебраическое число есть число, соотнесенное с своим инобытием и, следовательно, некоторым образом включающее его в себя. Включение это совершается здесь, как мы знаем, только в принципе, только потенциально. Поскольку инобытие мыслится здесь как простой, неразвернутый акт полагания, постольку оно в принципе есть целость, целое число. Следовательно, алгебраическое число есть потенция целого числа. Всякое число, которое в результате конечного числа операций может стать целым числом, есть число алгебраическое.
902
Малоупотребительные названия натурального {Неперов) и десятичного (Бриггов) логарифмов.
Диалектической противоположностью его является число трансцедентное. В нем вмещается его инобытие уже не только потенциально, а еще и энергийно. И это потому, что само инобытие дано тут не в виде голого бытия или полагания, но в виде полагания, перешедшего в становление, в развернутое инобытие, так что оно стало здесь инобытием инобытия, становлением становления. Когда число самой своей структурой свидетельствует о том, что оно Может быть получено только путем учета этого многомерного становления, то это число есть трансцедентное. Уже простая иррациональность не может быть получена при помощи конечного числа операций. Но все же путем различных операций ее можно привести к целому числу, если отказаться от непосредственного его вычисления. Трансцедентное же число есть усложненная иррациональность, — как мы говорим, «многомерная», — и поэтому, даже отказываясь От непосредственных вычислений, мы не в состоянии свести его на целое число. «Свести на целое число» — это ведь значит иметь для данного числа инобытие только как простую положенность, а тут она как раз не простая, а «многомерная».
Трансцедентное число всегда есть предел. Оно и не может не быть пределом, потому что иначе оно расплылось бы в многомерной иррациональности и мы не имели бы никакого закона необходимого тут становления становления, т. е. не имели бы и самого трансцедентного числа. Поэтому, если угодно, уже наличие в трансцедентном предела есть начало синтеза трансцедентности и алгебраичности. Алгебраическое число—устойчиво, неподвижно. Стихия инобытийного становления дана тут только принципиально, а не фактически. Трансцедентное же число все бурлит этим сложным становлением, и если бы тут было только это последнее, то оно набросилось бы на трансцедентность и увлекло бы его в свою бездну. Однако трансцедентность, несмотря на вмещаемый в себя вихрь становления, пребывает неподвижно в самом себе, оно управляет этим становлением и дает ему закон. Достигается это тем, что трансцедентность есть предел.