Логика для юристов: Учебник.
Шрифт:
Правильность некоторых из этих тождеств очевидна, а некоторых — нет. Постараемся пояснить неочевидные тождества, чтобы у читателя появилась уверенность в их правильности.
1. А • В = В • А;
A B = B A.
Тождества 1 устанавливают, что в суждениях с союзами, являющимися конъюнкцией и дизъюнкцией, члены конъюнкции и дизъюнкции можно переставлять.
2. А • (В • С) = (А • В) • С;
A (B C) = (A B) C.
Эти тождества
3.А • (В C) =A • В A • С;
А (В • С) = (А В) • (А С).
Знак “•” здесь связывает теснее, чем “”.
В элементарной алгебре есть аналог первого из этих тождеств:
а • (в+с) = (а • в) + (а • с);
аналога второго из них тождеств нет, так как равенство:
а+(в • с) = (а+в) • (в+с) неверно в элементарной алгебре.
Пример суждений, тождественных в силу первого из тождеств 3: “Петров знает английский язык, и он знает французский или немецкий”, “Петров знает английский и французский языки или Петров знает английский и немецкий языки”. Если тождество не кажется очевидным, то его можно проверить при помощи таблицы истинности.
4. А • А = А;
А А= А.
На основе тождества 4 повторения в сложных суждениях можно сократить.
5. А (А • В) = А;
А • (А В) = А.
6. А 0 = А; А • 1 = А;
A l = 1; A • 0 = 0.
_
7. A A
_
8.А • А = 0.
____ _ _
9. А • В = А В;
____ _ _
А В = А • В.
_
10. А • В A • В = А;
_
(A B) • (А В) = А.
_
11. A • B B = A B;
_
(А В) • В = А • В.
=
12. А = А.
_ _
13. 0 = 1; 1 = 0.
Отрицая ложь, получим истину, и наоборот.
В главе V в качестве переменных для суждений использовались символы р, q, r, s и эти же символы с нижними индексами. В том же значении эти символы будут употребляться и в этой главе. Последовательность символов, получаемую в результате замены простых суждений, входящих в сложное суждение, пропозициональными переменными, а союзов “и” и “или” — символами “•” и “”, отрицания — символом “-”, будем называть формулой. Например, суждению "Понятые не приглашены или протокол не составлен" соответствует формула: _ _
p q.
Формулами являются также пропозициональные переменные и символы 1 и 0.
На основе тождеств 1—13 можно преобразовывать формулы. Например,
____
из формулы p q • q можно получить тождественную ей формулу 0 следующим образом:
___
1) p q • q — исходная формула;
_ _
2) р •q •q — из 1) на основе Т9 (тождества 9);
_
3) р • 0 —
4) 0 — из 3) на основе Т6.
Установлено, что исходная формула тождественна 0, то есть суждение, которому эта формула соответствует, является ложным.
Из того как использовались тождества 1—13 можно уяснить, что в них буквами А, В, С обозначаются формулы.
Построенная алгебра имеет и другие интерпретации.
Рассмотрим одну из таких возможных интерпретаций. Пусть буквами А, В, С обозначаются объемы понятий (классы предметов), а символами “•”, “”, “-”соответственно операции пересечения, объединения классов, дополнения к классу в некотором универсуме.
Пересечением классов А и В называется новый класс А • В, элементами которого являются те и только те предметы, которые принадлежат как классу А, так и классу В. Графически этот класс изображается заштрихованной частью кругов А и В:
Объединением классов А и В называется новый класс A В, элементами которого являются все элементы классов А и В. Графически этот класс представляется заштрихованной поверхностью круговой схемы:
Пусть нулем обозначается нулевой (пустой) класс, а единицей — универсальный, то есть класс, включающий все предметы исследуемой области. Тогда дополнением к классу А в универсальном классе называется класс А, элементами которого являются все элементы универсального класса, за исключением элементов класса А. Обозначим на схеме универсальный класс прямоугольником. Класс А представляется заштрихованной поверхностью.
Для иллюстрации первого из тождеств 3 посредством этой интерпретации начертим три пересекающихся круга А, В, С.
Чтобы получить класс А • (BC), сначала осуществим объединение классов В и С.
Класс BC представлен заштрихованной поверхностью круговой схемы.