Логика и аргументация: Учебное пособие для вузов.
Шрифт:
В узкой теории силлогизма учитывается только отношение субъекта к предикату, но не раскрывается отношение предиката к субъекту.
Если нам удается установить не только отношение субъекта к предикату, но и обратное отношение предиката к субъекту, т.е. использовать выделяющие суждения, тогда оказывается возможным обосновать логическую правомерность целого ряда силлогистических умозаключений, которые не охватываются узкой теорией силлогизма.
В приведенном выше примере объем понятия "грибы" целиком входит в объем понятия "растения", т.е. объем предиката входит в объем субъекта. Именно в
Теория категорического силлогизма Аристотеля, как мы видели, рассматривает дедуктивные умозаключения из посылок, которые являются суждениями о принадлежности или непринадлежности свойства определенному классу предметов. Свойство же класса с современной точки зрения можно представить как функцию-высказывание с одной свободной переменной. Действительно, рассмотрим, например, функцию-высказывание Х > 0, т.е. множество всех положительных чисел. Как нетрудно понять, эта функция-высказывание выражает общее свойство всего класса положительных чисел. Аналогичным образом функция-высказывание "х обладает свойством проводить электричество" обозначает те и только те предметы, которым присуще указанное свойство. На основании этих примеров мы приходим к обобщению, что функцию-высказывание с одной свободной переменной можно заменить классом тех и только тех предметов, которые обладают некоторым общим свойством. Обратите внимание, что при этом переменная является единственной и свободной, т.е. не связанной с кванторами. Итак, всюду, где речь идет об общем свойстве предметов, его можно представить как функцию-высказывание или класс. Любой предмет, индивидуум или элемент класса, обладающий соответствующим свойством, будет принадлежать данному классу, что можно символически представить так:
x К,
где х - обозначает элемент;
К - класс таких элементов;
символ " "обозначает принадлежность элемента классу.
Эти соображения лежат в основе современного подхода к силлогистике, при котором рассуждения о свойствах заменяются рассуждениями о классах, а точнее, об объемах понятий классов.
Рассмотрим в этих целях основные отношения между классами, но предварительно введем некоторые новые понятия. Если каждый элемент класса K1 есть одновременно элемент класса К2, тогда класс K1 есть подкласс класса К2. Символически: K1 К2 или К2 K1. Говорят также, что класс K1 входит или включается в класс K2. Отношение включения обозначается символом "".
Может случиться, что элементы одного класса будут элементами другого класса, а элементы последнего - элементами первого, т.е. если К1 К2 и К2 К1 , тогда К1 = К2.
Очевидно, что каждый класс может рассматриваться как подкласс самого себя, но в таком случае он представляет мало интереса, и поэтому такой подкласс называют несобственным. В отличие от этого собственным подклассом (частью класса) называют множество элементов, которые одновременно принадлежат обоим классам, причем элементы подкласса составляют лишь часть элементов класса.
Отношения между классами характеризуются следующими основными законами:
1. Для всякого класса К К К.
2. Если K1 К2, а К2 К1, то К1 = К2.
3.
4. Если К - не пустой подкласс класса L, и если классы L и М раздельны, то классы А и М также раздельны.
Первый из законов называется законом рефлексивности отношения включения, второй - законом тождества, третий - законом транзитивности, четвертый - характеризует взаимоисключение или раздельность подклассов, что наглядно видно на рис. 12.
Перечисленные законы вместе с некоторыми другими положениями составляют группу законов категорического силлогизма.
Отсюда можно заключить, что силлогистика, а также традиционная логика, основывающаяся на ней, может быть сведена к теории отношений между классами. Легко убедиться, что два произвольных класса К1 и К2 могут находиться друг к другу в следующих отношениях:
1) классы могут быть тождественными, т.е. К1 = К2;
2) класс K1 может быть собственным подклассом К2, т.е. К1 К2;
3) классы K1 и К2 частично совпадают или пересекаются;
4) классы К1 и К2 взаимно исключают друг друга или раздельны.
Такой переход от рассмотрения отношений между свойствами предметов к анализу отношений между классами предметов, обладающих этими свойствами, значительно облегчает исследование и, что особенно существенно, сводит традиционную силлогистику к теории отношений между классами. Отношения же между классами можно свести к исчислению одноместных предикатов. Для иллюстрации рассмотрим силлогизм модуса "Barbara", который в общем виде формулируется так: "Все М есть Р. Все S есть М. Поэтому все S есть Р", а символически записывается следующим образом:
(х) (М(х) -> Р(х)), (х) (S(x) -> М(х)) | = (х) (S(x) -> Р(х)).
Предикаты, которые встречаются здесь, одноместные, выражающие отношение свойства к предмету. Современная же логика имеет дело с многоместными предикатами, характеризующими отношения между различными предметами. Отсюда становится ясным, что силлогистика составляет лишь небольшую часть логики предикатов. Поскольку, однако, силлогизмы формулируются на естественном языке, то они по-прежнему широко используются не только в повседневных, но и научных рассуждениях.
К несиллогистическим дедуктивным рассуждениям, которые изучались в традиционной логике и до сих пор часто используются на практике, относятся некоторые особые формы выводов. Большей частью они представляют собой комбинацию таких посылок, в которых категорические суждения объединяются с условными или с разделительными. Логически необходимый характер заключения в таких рассуждениях обеспечивается тем, что другие возможности вывода исключаются благодаря категорическому суждению.
Обратимся сначала к условно-категорическим умозаключениям, в которых одна посылка является условным суждением, а другая - простым категорическим суждением. Очевидно, что посылки такого рассуждения должны быть логически связанными друг с другом. Эта связь выражается в том, что термины, которые встречаются в категорическом суждении, должны также фигурировать либо в основании, либо в следствии условного суждения.
Условно-категорическое умозаключение имеет два правильных модуса. Первый из них называют утверждающим модусом (modus ponens).