Логика и аргументация: Учебное пособие для вузов.
Шрифт:
Рассмотрим такой пример.
Если ток пропустить через проводник, то он нагревается.
Ток пропущен через проводник.
Следовательно, проводник нагревается.
Здесь вторая посылка, являющаяся категорическим суждением, подтверждает или обосновывает истинность основания условного суждения, а заключение утверждает истинность следствия. Условное суждение обычно начинается со слов "если", "поскольку", "так как", "потому что", которые предваряют его основание. Следствие же начинается словами "то", "поскольку" и т.п. С утверждающим модусом мы уже встречались при изучении суждений, но там речь шла о выводах из суждений, не расчлененных на субъект и предикат.
Утверждающий модус обычно используется для доказательства, когда удается обосновать истинность основания условного суждения,
Отрицающий модус (modus tollens) строится по аналогичной схеме, но в нем категорическое суждение во второй посылке отрицает следствие в условном суждении первой посылки. Рассмотрим пример:
Если ток пропустить через проводник, то он нагреется.
Проводник не нагрелся.
Следовательно, ток не был пропущен.
Этот модус служит для опровержения основания условного суждения, когда удается установить ложность его следствия.
Схематически утверждающий модус может быть представлен в следующем виде:
Если А, то В
А_
Следовательно, В.
Отрицающий модус представляется в такой форме:
Если А, то В
не-В
Следовательно, не-А.
Наряду с условной связью в математике и других точных науках широко используется эквивалентная связь между суждениями. Так, в теореме:
"Если в треугольнике углы равны, то и стороны его равны" умозаключение строится не по правилу утверждающего модуса, поскольку в данном случае используется дополнительная информация об эквивалентной связи между основанием и следствием.
Очень часто рассмотренные выше модусы употребляются не в развернутой, а в сокращенной форме, например: "Раз ток проходит через проводник, то он нагревается", поскольку при этом предполагается, что "ток действительно проходит через проводник".
Категорические суждения могут образовать посылки не только с условными, но и разделительными суждениями. Разделительно-категорическими умозаключениями называются такие, в которых одна из посылок - разделительное суждение, а другая - категорическое суждение. Разделительно-категорические умозаключения имеют два модуса.
Первый из них называется утверждающе-отрицающим модусом (modus ponendo tollens). В нем одна из посылок - разделительное суждение, другая - утверждает истинность одного из членов разделительного суждения.
Тела бывают твердые, либо жидкие, либо газообразные.
Данное тело газообразное.
Данное тело не твердое и не жидкое.
Схематическим этот модус может быть представлен так:
А либо В, либо С
А есть В
А не есть С.
Второй модус называется отрицающе - утверждающим (modus tollendo ponens), так как в нем категорическое суждение отрицает один из членов разделительного суждения, и поэтому заключение утверждает истинность другого члена разделительного суждения:
Тела бывают простые либо сложные.
Данное тело не простое.
Данное тело сложное.
Схематически:
А либо В, либо С
А не есть В
А есть С.
Обратите внимание, что во всех разделительных суждениях связка "либо" ("или") употребляется в исключающем смысле, т.е. утверждение одного из членов суждения исключает все другие члены. Поэтому, чтобы не допустить ошибки в разделительном суждении, необходимо перечислить все его взаимоисключающие члены. Например, из суждений (посылок) "Треугольники бывают остроугольные или тупоугольные" и "Данный треугольник тупоугольный" нельзя вывести правильного заключения, что "этот треугольник остроугольный", поскольку мы не указали в посылке существования прямоугольных треугольников.
Кроме условно-категорических и разделительно-категорических умозаключений существуют также чисто условные умозаключения, в которых обе посылки являются условными суждениями. Однако в сравнении с рассмотренными выше умозаключениями их модусы используются значительно реже, и мы их не будем специально касаться.
4.7. Логический анализ рассуждений в естественном языке
Исчисление предикатов дает возможность проводить логический анализ несравненно большего количества рассуждений, выраженных на естественном языке, чем исчисление высказываний.
Повседневные и многие научные рассуждения обычно ведутся на естественном языке. Но, как уже неоднократно упоминалось, такой язык развивался в интересах легкости общения, обмена мыслями в ущерб точности и ясности. Логические исчисления строятся для того, чтобы обеспечить необходимую точность нашим рассуждениям, вскрывать возникающие при этом ошибки и исправлять их. В простейших случаях такой анализ можно провести с помощью исчисления высказываний, в котором мы отвлекаемся от логической структуры суждений и рассматриваем их как нечто единое целое, как далее неразложимые атомы рассуждения. Но средств этого исчисления оказывается явно недостаточно, когда приходится анализировать многие наиболее распространенные рассуждения не только в науке, но и в повседневном мышлении. Силлогистика Аристотеля, как мы видели, охватывает неизмеримо больший класс рассуждений, но она оставляет вне рассмотрения рассуждения, в которых фигурируют различные типы отношений. Точный анализ именно таких отношений играет существенную роль в научном познании, в особенности в математике и ее приложениях, в точном естествознании. Поэтому возникновение логики отношений значительно раздвинуло границы применимости логического анализа. С другой стороны, применение символического языка и точных математических методов в новой символической логике, обогащенной логикой отношений, в огромной степени повысило эффективность, строгость и точность такого анализа.
Перевод рассуждений с естественного языка на язык исчисления высказываний, как мы видели в предыдущей главе, наталкивается на серьезные трудности потому, что сильно искажает реальный процесс рассуждений, в котором интересуются не только различными связями суждений друг с другом, но и структурой самих суждений. Исчисление предикатов дает возможность более адекватно отобразить рассуждения, ведущиеся на естественном языке.
Для исчисления предикатов прежде всего устанавливается универсум рассуждения или предметная область объектов, о которых идет речь. Заранее устанавливать, из каких именно объектов состоит универсум рассуждения, не требуется. Достаточно допустить, что такой универсум существует. Далее следует выбрать предикаты (или пропозициональные функции), с помощью которых формулируются логические отношения между переменными. Каждый из выбранных предикатов становится высказыванием, когда все его переменные принимают какое-либо значение из универсума рассуждений, т.е. когда переменные становятся объектами (элементами) универсума рассуждения. Полученное высказывание будет либо истинным, либо ложным, но не тем и другим одновременно. Затем выбирается соответствующая символика для окончательного перевода естественного рассуждения на язык исчисления предикатов. Разумеется, при этом приходится делать определенные упрощения, ибо логика ставит своей целью исследование связи мыслей в рассуждении, выводов из одних суждений к другим.
Преимущество исчисления предикатов перед силлогистикой Аристотеля состоит не только в более широком анализе различных видов умозаключений, но и в точности и ясности получаемых заключений. В этом можно убедиться, если представить в символической записи категорические суждения, которые рассматриваются в силлогистике Аристотеля. Общеутвердительное суждение в исчислении предикатов записывается в виде: (х) (S(x) -> Р(х)), где S и Р обозначают соответственно субъект и предикат. Общеотрицательное суждение можно представить как ¬ (Ex) (S(x) Р(х)), частноутвердительное - как (Ex) (S(x) Р(х)), частноотрицательное - как (Ех) (S (х) ¬ Р(х)).