Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

8.9.2. Визуализация решения систем неравенств

Пожалуй, еще более полезным и наглядным средством является визуализация решения системы уравнений в виде неравенств. В пакете plots имеется специальная графическая функция inequal, которая строит все граничные линии неравенств и позволяет раскрасить разделенные ими области различными цветами:

inequal(ineqs, xspec, yspec, options)

Параметры этой функции следующие: ineqs — одно или несколько неравенств или равенств или список неравенств или равенств; xspec — xvar=min_x..max_x; yspec — yvar=min_y..max_y; о — необязательные параметры, например, указывающие

цвета линий, представляющих неравенства или равенства, и областей, образованных этими линиями и границами графика. Пример применения этой функции представлен на рис. 8.59.

Рис. 8.59. Пример графической интерпретации решения системы неравенств

Обратите внимание на задание цветов: optionsfeasible задает цвет внутренней области, для которой удовлетворяются все неравенства (равенства), optionsopen и optionsclosed задают цвета открытых и закрытых границ областей графика, optionsexcluded используется для цвета внешних областей. График дает весьма наглядную интерпретацию действия ряда неравенств (или равенств).

8.9.3. Иллюстрация итерационного решения уравнения f(x)=х

Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х = f(x) и применение метода простых итераций х_k = s(х_k-1) при заданном значении x₀. Приведем пример такого решения:

> f := х ->3*ln(x+1);

f := х→3ln(x + 1)

> x||0 := 0.5;

x0 :=.5

> x0 := .5;

x0 :=.5

> for k from 1 to 16 do x||k := evalf(f(x||(k-1))); od;

x1 := 1.216395324

x2 := 2.387646445

x3 : = 3.660406248

x4 : = 4.617307866

x5 := 5.177557566

x6 : = 5.462768931

x7 := 5.598173559

x8 := 5.660378631

x9 := 5.688529002

x10 := 5.701181910

x11 := 5.706851745

x12 := 5.709388956

x13 := 5.710523646

x14 := 5.711030964

x15 := 5.711257755

x16 := 5.711359134

Нетрудно заметить, что значения х_k в ходе итераций явно сходятся к некоторому значению. Проведем проверку решения, используя встроенную функцию solve:

> f(x) = х; solve(%, х);

3 ln(x + 1) = х

0, -3LambertW(-1, -1/3e^(-1/3))-1

Результат выглядит необычно — помимо довольно очевидного корня х=0 значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта. Впрочем, нетрудно найти и его численное значение:

> evalf(%);

0., 5.711441084

К нему и стремятся промежуточные результаты

решения. Однако как сделать процесс решения достаточно наглядным? Обычно для этого строят графики двух зависимостей — прямой х и кривой f(x) — и наносят на них ступенчатую линии перемещения точки х_k. Специальной функции для графиков подобного рода Maple не имеет. Однако можно составить специальную процедуру для их построения. Ее листинг, взятый из примера, описанного в пакете обучения системе Maple — PowerTools —представлен на рис. 8.60.

Рис. 8.60. Иллюстрация процесса итераций

На рис. 8.60 представлено задание процедуры rec_plot( f1, а, b, х0).

Параметрами этой процедуры являются: f1 — функция f(x): а и b — пределы изменения х при построении графика; х0 — значение х, с которого начинаются итерации. Используя эту процедуру можно наблюдать график, иллюстрирующий итерационный процесс. Он представлен на рис. 8.60 снизу.

Нетрудно заметить, что для данной функции процесс итераций, хотя и не очень быстро, но уверенно сходится к точке пересечения прямой у=х и кривой y=f(x). Вы можете, меняя зависимость f(x), провести исследования сходимости уравнений x=f(x).

8.9.4. Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области

Теперь займемся довольно рискованным экспериментом — наблюдением ньютоновских итераций с их представлением на комплексной плоскости. На рис. 8.61 задана функция f(z) комплексного аргумента. Проследить за поведением этой функции на комплексной плоскости в ходе ньютоновских итераций в соответствии с выражением z=f(z) позволяет графическая функция complexplot3d из пакета plots.

Рис. 8.61. Наблюдение за процессом ньютоновских итераций в трехмерном пространстве

Наблюдаемая картина весьма необычна и свидетельствует о далеко не простом ходе итерационного процесса. А рискованной эта задача названа потому, что в предшествующих версиях Maple она нередко вела к «зависанию» компьютера.

8.10. Визуализация геометрических построений

8.10.1. Визуализация теоремы Пифагора

Средства Maple 9.5 весьма удобны для визуализации геометрических построений.

Примером наглядного геометрического представления математических понятий является визуализация известной теоремы Пифагора (рис. 8.62).

В этом примере используется функция построения многоугольников. Наглядность построений усиливается выбором разной цветовой окраски треугольников и квадрата.

Рис. 8.62. Графическая иллюстрация к теореме Пифагора