Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

8.10.2. Визуализация построения касательной и перпендикуляра

В ряде геометрических построений нужно строить касательную и перпендикуляр к кривой, отображающей произвольную функцию f(x) в заданной точке х=а. Рисунок 8.63 поясняет, как это можно сделать. Линии касательной Т(х) и перпендикуляра N(x) определены аналитически через производную в заданной точке.

Рис. 8.63. Построение касательной и перпендикуляра к заданной точке графика

функции f(x)

Во избежание геометрических искажений положения касательной и перпендикуляра при построении графика функцией plot надо использовать параметр scaling=constrained.

8.10.3. Визуализация вычисления определенных интегралов

Часто возникает необходимость в геометрическом представлении определенных интегралов в виде алгебраической суммы площадей, ограниченных кривой подынтегральной функции f(x), осью абсцисс х и вертикалями х=a и х=b (пределами интегрирования). При этом желательно обеспечение закраски верхней и нижней (отрицательной и положительной) площадей разными цветами, например, зеленым для верхней площади и красным для нижней. Как известно, численное значение определенного интеграла есть разность этих площадей.

К сожалению, в Maple 8 нет встроенной функции, явно дающей такое построение. Однако ее несложно создать. На рис. 8.64 представлена процедура a_plot, решающая эту задачу. Параметрами процедуры являются интегрируемая функция f(x) (заданная как функция пользователя), пределы интегрирования а и b и пределы слева am и справа bm, задающие область построения графика f(x).

Рис. 8.64. Графическое представление определенного интеграла

Рисунок 8.64 дает прекрасное представление о сущности интегрирования для определенного интеграла. Приведенную на этом рисунке процедуру можно использовать для подготовки эффектных уроков по интегрированию разных функций.

8.11. Расширенная техника анимации

8.11.1. Анимирование разложения функции в ряд Тейлора

Анимация позволяет повысить наглядность некоторых математических операций. Обычно для этого используются функции animate и animate3d пакета расширения plots, загружаемые командой with(plots). Пример этого представлен на рис. 8.65. Этот документ внизу показывает кадр анимированного процесса улучшения приближения синусоидальной функции рядом с различным числом членов (и порядком последнего члена ряда).

Рис. 8.65. Анимационная демонстрация приближения синусоиды рядом с меняющимся числом членов

Результирующая картина, показанная на рис. 8.65, показывает как приближаемую синусоидальную функцию, так и графики всех рядов, которые последовательно выводятся в ходе анимации.

8.11.2. Анимирование разложения импульса в ряд Фурье

Анимирование изображений является одним из самых мощных средств визуализации результатов моделирования тех или иных зависимостей или явлений. Порою изменение во времени одного из параметров зависимости дает наглядное представление о его математической или физической сути.

Здесь мы расширим представление об анимации и рассмотрим не вполне обычный пример — наблюдение в динамике за гармоническим синтезом некоторой произвольной функции f(x) на отрезке изменения x от 0 до 1. Значения функции f(x)

могут быть одного знака или разных знаков. В этом примере можно наблюдать в динамике синтез заданной функции рядом Фурье с ограниченным числом синусных членов (гармоник) — до 1, 2, 3...N. На рис. 8.66 представлен документ, реализующий такое разложение и затем синтез для пилообразного линейно нарастающего импульса, описываемого выражением f(x)=-1+2*x. На графике строится исходная функция и результат ее синтеза в динамике анимации.

Рис. 8.66. Один из первых стоп-кадров анимации разложения импульса в ряд Фурье

Рис. 8.67 показывает завершающий стоп-кадр анимации, когда число гармоник N равно 30. Нетрудно заметить, что такое число гармоник в целом неплохо описывает большую часть импульса, хотя в его начале и в конце все еще заметны сильные отклонения.

Рис. 8.67. Второй (завершающий) кадр анимации

Для f(x) = 1 строится приближение для однополярного импульса с длительностью 1 и амплитудой 1, при f(x)=x приближение для пилообразного линейно нарастающего импульса, при f(x)=x^2 — приближение для нарастающего по параболе импульса, при f(x) = signum(x-1/2) — приближение для симметричного прямоугольного импульса — меандра и т.д. Фактически можно наблюдать анимационную картину изменения формы импульса по мере увеличения числа используемых для синтеза гармоник. Выбор используемого числа гармоник осуществляет амплитудный селектор — функция af(t, k), основанная на применении функции Хевисайда.

Самым интересным в этом примере оказывается наблюдение за зарождением и эволюцией эффекта Гиббса — так называют волнообразные колебания на вершине импульса, связанные с ограничением числа гармоник при синтезе сигнала. С ростом числа гармоник эффект Гиббса не исчезает, просто обусловленные им выбросы вблизи разрывов импульса становятся более кратковременными. Амплитуда импульсов может достигать 9% от амплитуды перепадов сигнала, что сильно ухудшает приближение импульсных сигналов рядами Фурье и вынуждает математиков разрабатывать особые меры по уменьшению эффекта Гиббса.

8.11.3. Визуализация всех фаз анимации разложения импульса в ряд Фурье

Можно ли наблюдать одновременно все фазы анимации? Можно! Для этого достаточно оформить анимационную картину, созданную функцией animate, в виде отдельного графического объекта, например, g, после чего можно вывести все его фазы оператором display. Это и иллюстрирует рис. 8.68. На этот раз задано f(x)=signum(x-1/2) и N=25. Таким образом, рассматриваются симметричные прямоугольные импульсы — меандр. У каждого рисунка координатные оси с делениями удалены параметром axes=none.

Рис. 8.68. Иллюстрация получения всех кадров анимации двумерного графика

Любопытно отметить, что при определенных числах гармоник связанная с колебательными процессами неравномерность вершины импульса резко уменьшается. Наблюдение этого явления и является наиболее интересным и поучительным при просмотре данного примера.

При внимательном просмотре рис. 8.68 заметно, что, после некоторого периода установления, фазы анимационной картинки практически повторяются. Это связано с известным обстоятельством — установившийся спектр меандра содержит только нечетные гармоники. Поэтому, к примеру, вид спектрального разложения при 22 гармониках будет тот же, что и при 21 гармонике, при 24 гармониках тот же, что при 23 и т.д. Однако, эта закономерность проявляется только при установившемся (стационарном) спектре.