Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

> [fsolve(df,x=3..6),fsolve(df,x=7..9),fsolve(df,x=9..12)];

[4.493409458, 7.725251837, 10.90412166]

Тут уже приходится искать каждый экстремум поодиночке, задавая поиск в соответствующем интервале изменения х. Для просмотра графика функциональной зависимости и ее производной достаточно в конце второй строки ввода заменить знак «:» на «;».

5.1.3. Поиск экстремумов в аналитическом виде

Функция solve нередко позволяет найти экстремумы в аналитическом виде как нули первой производной. Приведем примеры этого (файл extrem):

> restart:y:=ехр(-а*х)-exp(-b*x);dy:=diff(y,х);

у = e^(-ax)–

е^(-bx)

dy := -ae^(-ax) + bе^(-bх)

> solve(dy,x);

> restart:y:=а*х*ехр(-b*x);dy:=diff(y,х);

y := axe^(-bx)

dy := ae^(-bx)– axbe^(-bx)

> solve(dy,x);

Этот метод иногда можно распространить на случай ряда переменных. Ниже представлен такой пример для функции двух переменных:

> restart:

> z:=(х,y)-> а*х^2 + b*х*y + с*y^2 + d*(х-y);

z := (х,у)→aх² + bху + су² + d(x-y)

> xy:=solve({diff(z(x,y),x) = 0, diff(z(x,y),y) = 0},{х,y});

> z(rhs(xy[2]),rhs(xy[1]));

> simplify(%);

Разумеется, подобное решение возможно далеко не всегда, хотя и частные решения данной задачи представляют значительный практический интерес.

5.1.4. Поиск максимума амплитудно-частотной характеристики

Одной из практически важных задач может служить нахождение пика амплитудно-частотной характеристики слабо демпфированной системы с массой m и частотой собственных колебаний ω0. Эту характеристику можно представить следующим известным выражением (файл afc):

> restart;

> A:=A0/sqrt(m^2* (omega0^2-omega^2)^2+gamma^2*omega^2);

Найдя ее производную и, вычислив корни последней, получим:

> dA:=diff(A,omega);

> ss:=solve(dA=0,omega);

Из этих трех частот только одна физически реальна — средняя. Остальные могут быть отброшены. А теперь приведем пример с конкретными числовыми данными:

> AA:=subs(А0=5,omega0=10,m=1, gamma=1, А);

> AAprime :=diff(АА, omega);

> ss1:=solve(AAprime=0,omega);

> evalf(ss1);

0., 9.974968670 , -9.974968670

Нетрудно

подметить, что частота пика амплитудно-частотной характеристики чуть меньше частоты собственных колебаний системы.

5.1.5. Поиск экстремумов с помощью функции extrema

Ряд функций служит специально для вычисления экстремумов, максимумов и минимумов функций, а также для определения их непрерывности. Одна из таких функций extrema позволяет найти экстремумы выражения expr (как максимумы, так и минимумы) при ограничениях constrs и переменных vars, по которым ищется экстремум:

extrema(expr, constrs)

extrema(expr, constrs, vars)

extrema(expr, constrs, vars, 's')

Ограничения contrs и переменные vars могут задаваться одиночными объектами или списками ряда ограничений и переменных. Найденные координаты точки экстремума присваиваются переменной 's'. При отсутствии ограничений в виде равенств или неравенств вместо них записывается пустой список {}.

Эта функция в предшествующих версиях Maple находилась в стандартной библиотеке и вызывалась командой readlib(extrema). Но начиная с Maple 7 ее можно использовать без предварительного объявления. В этом убеждают приведенные ниже примеры (файл extrema):

> restart:

> z:=(х,y)-> а*х^2 + b*x*y + с*y^2 + d*(х-y);

z:= (х,у)→ах² + bxy + су² + d(х - y)

> extrema(z(х,y),{},{х,y},'s');

> s;

> extrema(а*х^2+b*х+с,{},x,'s');s;

> extrema(х*ехр(-х),{}, х, 's'); s;

{e^(-1)}

{{x = 1}}

> extrema(sin(x)^2,{},x,'s');s;

{0,1}

{{x=0}, {х=½π}}

> extrema(х+у/z,х^2+у^2+z^2=1,{x,y,z},'s');s;

{max(1 - RootOf(_Z⁴ + 1)², - 1 + RootOf(_Z⁴ + 1)²),

min(1 - RootOf(_Z⁴ + 1)², -1 + RootOf(_Z⁴ + 1)²)}

{{z = RootOf(_ Z⁴ + 1), x = -1, у = RootOf(_Z⁴ + 1)³},