Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

5.1.11. Вычисление асимптотических и иных разложений

Важным достоинством системы Maple является наличие в ней ряда функций, позволяющих выполнять детальный анализ функций. К такому анализу относится вычисление асимптотических разложений функций, которые представляются в виде рядов (не обязательно с целыми показателями степени). Для этого используются следующая функция:

asympt(f,x)

asympt(f,х,n)

Здесь f — функция переменной х или алгебраическое выражение; х — имя переменной, по которой производится разложение; n — положительное целое

число (порядок разложения, по умолчанию равный 6). Ниже представлены примеры применения этой функции (файл fanal):

> asympt(х/(1-х^2),х);

> asympt(n!,n,3);

> asympt(exp(x^2)*(1-exp(x)), x);

> asympt(sqrt(Pi/2)*BesselJ(0,x), x, 3);

5.1.12. Пример анализа сложной функции

Ниже мы рассмотрим типичный анализ достаточно «сложной» функции, имеющей в интересующем нас интервале изменения аргумента х от -4 до 4 нули, максимумы и минимумы. Определение функции f(x), ее графики и график производной df(x)/dx даны на рис. 5.3. Этот рисунок является началом полного документа, описываемого далее (файл analizf).

Рис. 5.3. Задание функции F(x) и построение графиков функции и ее производной

Функция F(x), на первый взгляд, имеет не совсем обычное поведение вблизи начала координат (точки с х=у=0). Для выяснения такого поведения разумно построить график функции при малых x и у. Он также представлен на рис. 5.2 (нижний график) и наглядно показывает, что экстремум вблизи точки (0,0) является обычным минимумом, немного смешенным вниз и влево от начала координат.

Теперь перейдем к анализу функции F(x). Для поиска нулей функции (точек пересечения оси х) удобно использовать функцию fsolve, поскольку она позволяет задавать область изменения х, внутри которой находится корень. Как видно из приведенных ниже примеров, анализ корней F(x) не вызвал никаких трудностей, и все корни были уточнены сразу:

> fsolve(F(х),х,-2...-1);

– 1.462069476

> fsolve(F(x),х,-.01..0.01);

0.

> fsolve(F(х),х,-.05..0);

– .02566109292

> fsolve(F(x),х,1..2);

1.710986355

> fsolve(F(x),x,2.5..3);

2.714104921

Нетрудно

заметить, что функция имеет два очень близких (но различных) корня при x близких к нулю.

Анализ функции на непрерывность, наличие ее нарушений и сингулярных точек реализуется следующим образом:

> iscont(F(x),x=-4..4);

true

> discont(F(x),x);

{ }

> singular(F(x));

{x = ∞}, {x = -}

Этот анализ не выявляет у заданной функции каких-либо особенностей. Однако это не является поводом для благодушия — попытка найти экстремумы F(x) с помощью функции extrema и минимумы с помощью функции minimize завершаются полным крахом:

> extrema(F(x),{},х,'s');s;

s

> minimize(F(х),х=-.1...1);

minimize( .05x +xe^(-|x|) sin(2x), x=-.1..1)

> minimize(F(x),x=-2.5..-2);

minimize(.05x + xe^(-|x|) sin(2x), x = -2.5 ..
– 2)

Приходится признать, что в данном случае система Maple ведет себя далеко не самым лучшим способом. Чтобы довести анализ F(x) до конца, придется вновь вспомнить, что у функции без особенностей максимумы и минимумы наблюдаются в точках, где производная меняет знак и проходит через нулевое значение. Таким образом, мы можем найти минимумы и максимумы по критерию равенства производной нулю. В данном случае это приводит к успеху:

> fsolve(diff(F(х),х)=0,х,-.5.. .5);

– .01274428224

> xm:=%;

xm:=-.0003165288799

> [F(xm),F(xm+.001),F(xm-.001)];

[-.00001562612637, .00003510718293, -.00006236451216]

> fsolve(diff(F(x),x)=0,x,-2.5..-2);

– 2.271212360

> fsolve(diff(F(x),x)=0,x, 2..2.5);

2.175344371

Для случая поиска максимумов:

> maximize(F(х),х=-1..-.5);

maximize( .05 x + xe^(-x|) sin(2 x), x =-1..-.5)

> fsolve(diff(F(x), x), x,-1..
– .5);

– .8094838517

> fsolve(diff(F(x),x),x,.5..2);

.8602002115

> fsolve(diff(F(x),x),x, -4..-3);

– 3.629879137

> fsolve(diff(F(x), x), x, 3..4);

Итак, все основные особые точки данной функции (нули, минимумы и максимумы) найдены, хотя и не без трудностей и не всегда с применением специально предназначенных для такого поиска функций.

5.1.13. Maplet-инструмент по анализу функциональных зависимостей

Для анализа функциональных зависимостей Maple 9.5 имеет специальный Maplet-Инструмент. Он вызывается командой Tools→Tutors→Calculus-Single Variable→Curve Analysis…. Она открывает окно инструмента, показанное на рис. 5.4.