Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний

Уэст Джеффри

Чтобы получить некоторое представление об огромной энергии землетрясений, можно рассмотреть некоторые цифры: при взрыве одного фунта (то есть около 0,5 кг) тринитротолуола высвобождается энергия, приблизительно соответствующая 1 баллу по шкале Рихтера. Сила 3 балла эквивалентна взрыву 1000 фунтов (около 500 кг) ТНТ: взрыв приблизительно такой силы произошел в 1995 г. во время теракта в Оклахома-Сити. 5,7 балла по шкале Рихтера соответствуют приблизительно 5000 т взрывчатки; 6,7 (сила землетрясений в Нортридже и Фукусиме) – приблизительно 170 000 т; 7,7 (землетрясение 2010 г. на Суматре) – приблизительно 5,4 млн т; а 8,7 (землетрясение 2005 г. на Суматре) – приблизительно 170 млн т. Самым сильным из зарегистрированных землетрясений было Великое чилийское землетрясение 1960 г. в городе Вальдивия: его сила составила 9,5 балла (почти в тысячу раз больше по амплитуде, чем в Нортридже и Фукусиме), что соответствует 2700 млн тонн ТНТ.

Отметим для сравнения, что атомная

бомба «Малыш», сброшенная в 1945 г. на Хиросиму, высвободила энергию, эквивалентную приблизительно 15 000 тонн ТНТ. Средняя водородная бомба высвобождает более чем в тысячу раз больше энергии, что соответствует крупному землетрясению силой 8 баллов. Речь идет об огромных количествах энергии: 170 млн тонн ТНТ, энергии суматранского землетрясения 2005 г., достаточно для энергоснабжения города с населением 15 миллионов человек (то есть размером со всю агломерацию Большого Нью-Йорка) в течение целого года.

Масштаб, в котором приращение идет не линейно (1, 2, 3, 4, 5…), а по степеням десяти (10¹, 10², 10³, 10⁴, 10⁵…), как на шкале Рихтера, называется логарифмическим. Отметим, что в этом масштабе на самом деле происходит линейное увеличение порядков величины, как видно по показателям степени десяти (верхним индексам). Одна из многочисленных особенностей логарифмического масштаба состоит в том, что она позволяет отображать на одном и том же графике величины, отличающиеся друг от друга по одной из осей во много раз, например силу землетрясения в Вальдивии, землетрясения в Нортридже и взрыва динамитной шашки, то есть значения, различающиеся более чем в миллиард (10⁹) раз. На графике, построенном в линейном масштабе, это было бы невозможно, так как большинство точек сгрудилось бы в самом низу графика. Чтобы построить в линейном масштабе график, включающий в себя все землетрясения, сила которых различается на пять или шесть порядков величины, потребовался бы лист бумаги длиной несколько километров – потому и была изобретена шкала Рихтера.

Благодаря тому что логарифмический масштаб дает удобную возможность компактного представления величин разных порядков на одной и той же странице, он широко используется во всех научных дисциплинах. Эту методику, позволяющую охватить сразу весь диапазон сильно изменяющихся величин, широко применяют, например, для представления яркости звезд, кислотности химических растворов (величины рН), физиологических характеристик животных или ВВП разных стран мира. Именно так построены графики, приведенные на рис. 1–4 во вступительной главе.

4. Тяжелая атлетика и проверка Галилея

Важная особенность науки, часто отличающая ее от других умственных занятий, состоит в требовании подтверждения гипотез опытами и наблюдениями. Это вовсе не тривиальное обстоятельство, как можно видеть из того факта, что утверждение Аристотеля, согласно которому скорость предметов, падающих под действием силы тяжести, пропорциональна их весу, никто не удосужился проверить в течение более двух тысяч лет, а когда его наконец проверили, оно оказалось ошибочным. К сожалению, хотя многие из наших нынешних догм и убеждений, особенно в ненаучных областях, точно так же остаются непроверенными, в них безоговорочно верят, даже не пытаясь найти им каких-либо подтверждений – и это порой приводит к неприятным и даже катастрофическим последствиям.

Поэтому, завершив наше отступление, посвященное степеням десяти, я хотел бы приложить то, что мы узнали о порядках величины и логарифмах, к проверке предсказаний Галилея относительно масштабирования прочности или силы при изменении массы. Можно ли показать, что в «реальном мире» сила действительно изменяется с массой так, как предсказывает правило, гласящее, что изменение порядка ее величины должно происходить в пропорции два к трем?

В 1956 г. химик М. Г. Лицке придумал простое и элегантное подтверждение предсказания Галилея. Он осознал, что данные о том, как максимальная сила масштабируется при изменении массы тела, по меньшей мере у человека, можно найти в статистике тяжелоатлетических соревнований в разных весовых категориях. Все лучшие тяжелоатлеты стараются максимально увеличить вес, который они могут поднять, и тренируются для этого приблизительно с одинаковой интенсивностью и в течение одинакового времени, что позволяет сравнивать их силу в приблизительно одинаковых условиях. Кроме того, соревнования проводятся в трех дисциплинах – жим, рывок и толчок, – так что совокупные результаты по всем трем достаточно хорошо усредняют индивидуальные вариации склонности к той или иной из этих дисциплин. Поэтому такие суммарные результаты можно считать хорошей мерой максимальной силы.

Используя суммарные результаты по всем трем дисциплинам тяжелоатлетических соревнований на Олимпийских играх 1956 г., Лицке блестяще подтвердил, что сила масштабируется с массой тела по степенному закону с показателем, равным 2/3 . Результаты всех обладателей золотых

медалей были нанесены на график зависимости от веса их тела в логарифмическом масштабе, то есть по каждой оси были отложены приращения в десять раз. Если сила, отложенная по вертикальной оси, увеличивается на два порядка при каждом увеличении массы тела, отложенной по горизонтальной оси, на три порядка, то график должен представлять собой прямую, наклон [30] которой равен 2/3 . Результат измерений Лицке был равен 0,675, что чрезвычайно близко к предсказанному значению ( 2/3 = 0,667). Его график приведен на рис. 7 [31] .

30

Строго говоря, речь идет о тангенсе угла наклона этой прямой, то есть отношении вертикального приращения к горизонтальному. – Прим. перев.

31

Источник: M. H. Lietzke. Relation Between Weightlifting Totals and Body Weight // Science. 1956. 124. P. 486.

Рис. 7

Зависимость суммарного веса, поднятого чемпионами Олимпийских игр 1956 г. по тяжелой атлетике, от массы их тела, подтверждающая предсказанный наклон в 2/3 . Кто был сильнее, а кто слабее всех?

5. Индивидуальные результаты и отклонения от масштабирования: самый сильный человек на свете

Регулярность, проявляющаяся в данных по тяжелой атлетике, и их точное соответствие предсказанному правилу масштабирования силы могут показаться удивительными, особенно с учетом простоты доказательства этого правила. В конце концов, все мы различаемся формами и параметрами тела, жизненной историей и, до некоторой степени, наследственностью и так далее: ничто из этого не учитывалось в выводе коэффициента 2/3 . Использование суммы весов, поднятых олимпийскими чемпионами, которые тренировались по приблизительно одинаковым программам, позволяет усреднить некоторые из этих индивидуальных различий. Вместе с тем можно считать с достаточно высокой степенью точности, что все мы состоим из приблизительно одних и тех же веществ и имеем весьма сходную физиологию. Наши организмы действуют очень сходным образом и, как видно из рис. 7, по крайней мере с точки зрения силы, являются масштабными версиями друг друга. Более того, к концу этой книги я надеюсь доказать вам, что это общее сходство распространяется почти на все аспекты вашей физиологии и истории развития. Так что, когда я говорю, что «мы» в некотором приближении являемся масштабированными версиями друг друга, я имею в виду не только всех людей, но и всех млекопитающих, а в некоторых отношениях и вообще все живое.

Если взглянуть на законы масштабирования с несколько другой точки зрения, можно сказать, что они дают некий идеализированный стандарт, охватывающий господствующие, наиболее существенные черты, которые объединяют всех нас – не только как людей, но и как различные виды организмов и проявлений жизни. Каждый индивидуум, каждый вид и даже каждая таксономическая группа в той или иной степени отклоняются от норм, проявляющихся в законах масштабирования, и именно эти отклонения отражают конкретные характеристики, образующие индивидуальность.

Проиллюстрируем это утверждение на том же примере тяжелой атлетики. Если внимательно посмотреть на график, приведенный на рис. 7, ясно видно, что четыре точки лежат почти точно на прямой, а это означает, что эти четыре тяжелоатлета могут поднять почти тот самый вес, который соответствует массе их тела. Однако оставшиеся две точки, представляющие тяжеловеса и спортсмена средней весовой категории, несколько отходят от прямой: одна из них лежит ниже, а другая – выше ее. Таким образом, хотя тяжеловес поднял больше, чем кто-либо другой, его результат на самом деле не дотягивает до уровня, соответствующего массе его тела, а спортсмен, выступающий в среднем весе, превзошел результат, нормальный для своей массы. Другими словами, с уравнительной точки зрения физика, рассматривающего эту ситуацию с позиций равных условий игры, самым сильным человеком в мире на 1956 г. был чемпион в среднем весе, поскольку его результат был выше нормального для его собственного веса. Забавно отметить, что в аспекте такого научного масштабирования самым слабым оказался чемпион в тяжелом весе, хотя он и поднял больше, чем все остальные.