Математическая планета. Путешествие вокруг света
Шрифт:
За исключением случая, когда на каждой стороне располагается всего одна вершина, различные циклы такого типа (обладающие осевой симметрией четвертого порядка) можно определить для любого числа вершин на стороне квадрата, как четного, так и нечетного. Для сетки размером 4 x 4 это будут две вершины, для сетки размером 7 x 7 — три.
Если число вершин сетки на каждой стороне квадрата четное (сетка состоит из нечетного числа клеток), то не существует
Чтобы получить бесконечный узел, проходящий через все вершины сетки, нужно, чтобы число вершин на каждой стороне квадрата было нечетным, или, что аналогично, число клеток сетки — четным.
Теорема 1: Если сетка состоит из четного числа клеток, полученный узел будет бесконечным, подобно исходному, и будет обладать осевой симметрией второго порядка (относительно поворота на 180°).
Теорема 2: Для любого числа клеток сетки n2 при n = 2·k или n = 2·k + 1 определимы k циклов с осевой симметрией четвертого порядка.
Ранее мы показали, что в сетке из 49 клеток (n = 7 = 2·3 + 1) можно определить три цикла, обладающих осевой симметрией четвертого порядка. В сетке из 16 клеток (16 = (2·2)2) можно определить два таких цикла.
Геометрические узоры встречаются повсеместно и практически у всех народов. Первые геометрические петроглифы появились еще в древнейшие времена — их примеры найдены в пещере Бломбос (ЮАР) или в Раскрашенной пещере на Канарских островах (Испания). Узоры, созданные еще до нашей эры в Древнем Египте, Древней Греции и Византии, имеют более формальный характер. Уже в нашу эру римляне использовали геометрические узоры в мозаиках (расцвет этого вида искусства наблюдался в Венеции до начала эпохи Возрождения). В то же время был создан чисто геометрический римско-византийский узор, обладающий самоподобием (в этом он схож с фракталами).
Римско-византийский узор (ок. 700 года).
Основу этого узора составлял квадрат, разделенный на 16 клеток. Диагонали делят каждую клетку на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Один из них окрашивался в серый цвет, другой делился на четыре подобных ему треугольника. Один из этих маленьких треугольников окрашивался в светло-серый цвет, три оставшихся вновь делились на четыре равнобедренных прямоугольных треугольника. Далее каждый из этих трех треугольников окружался еще тремя, таким образом получалось 3·3·16 = 9·16 = 144 новых треугольника. Эти действия могли повторяться бесконечно. На каждом этапе число треугольников утраивалось.
Этот узор обладает зеркальной симметрией вида cm, определяемой параллельными осями симметрии вдоль восходящих диагоналей каждой клетки.
Но есть культура, в которой искусство рисования геометрических узоров достигло поистине невероятных высот. Арабские узоры и мозаики встречаются на территории от Марокко до Индии и от Испании до Танзании. Их удивительную симметрию можно увидеть не только в мечетях, дворцах и медресе, но и в гостиницах, аэропортах и на самолетах. Исламские узоры берут начало в арабских узорах, созданных до 1000 года нашей эры.
Арабский узор (ок. 1200 года)
Этот
Некоторые узоры отличаются тем, что построены на треугольных, а не прямоугольных сетках, поэтому обладают осевой симметрией относительно поворота на 60° и 120°. Прямой угол в узорах также присутствует, но играет второстепенную роль. В исламской культуре геометрия узоров усложнилась с появлением двойных линий — лент, сплетающихся в виде узлов. Эти узоры двумерны, но мастера, умело играя с особенностями нашего восприятия, создают эффект трехмерности. Равносторонние треугольники сетки образуют бесконечное множество составных фигур, среди которых выделяются шести- и двенадцатиконечная звезда, как в архитектурном ансамбле Альгамбра в Гранаде.
Узор в Альгамбре времен династии Насридов (Гранада, Испания, IX век).
* * *
СИММЕТРИЯ И НЕВОЗМОЖНЫЕ МИРЫ
Мы знаем, что стороны улиц наших городов представляют собой параллельные прямые. Но мы не удивляемся, когда видим, как вдали, на горизонте, эти прямые сходятся в одной точке. Из-за особенностей нашего зрения далекие предметы кажутся нам меньше. Сочетание симметрии и технологий может порождать новые миры — невозможные, но отчасти реалистичные. Достаточно взять любую фотографию, отразить ее половину по вертикали или горизонтали и приложить к оригиналу. На двойном изображении мы увидим две параллельные улицы, симметричные друг другу.
Улица в японском городе Канадзава и симметричная ей.
* * *
К сожалению, о том, как были выполнены мозаики Альгамбры, и о том, как строились правильные девятиугольники в то время, известно очень немногое (в XVIII веке Гаусс доказал, что построить правильный девятиугольник при помощи циркуля и линейки невозможно). Остается лишь строить догадки. Впрочем, далее вы увидите, что в некоторых культурах для рисования узоров до сих пор используют те же методы, что и в далеком прошлом.
Каждое утро женщины с юга Индии, особенно из штатов Тамилнад и Керала, проводят у дверей своих домов ритуал: они рисуют на земле рисовой мукой или мелом ряд геометрических фигур, которые затем могут раскрашивать в яркие цвета. Эти фигуры — колам — отличаются большим разнообразием и могут иметь вид как маленьких и простых изображений цветов, так и сложнейших геометрических узоров.
Колам — это не просто искусство. Линии и фигуры в нем обычно строятся на сетке точек, заранее размеченных на земле. Кроме того, колам состоят из меньших фигур, как правило, симметричных и повторяющихся по заданной схеме, которая также определяется формой исходной сетки из точек. На фотографии изображен колам с двумя перпендикулярными осями симметрии, начерченный на основе восьмиугольной сетки из точек.
Женщины рисуют колам в городе Ченнаи, штат Тамилнад (Индия).
Как правило, узоры колам рисуют женщины, вместе с другими работами по дому. Но иногда к ним присоединяются и мужчины — просто для эстетического удовольствия.
Только в одном случае колам должен рисовать мужчина — во время особого ритуала, посвященного богине-матери Бхагавати в штате Керала. Этот ритуал называется Бхагавати севаи, и проводить его может только жрец-мужчина, который и должен нарисовать особый колам — падман (лотос).