Математические головоломки профессора Стюарта

Стюарт Иэн

Эта кривая известна с 1744 г., когда Эйлер открыл одно из ее основных свойств. Кривизна этой кривой (1/r, где r – радиус оптимально подогнанной окружности) в любой заданной точке пропорциональна расстоянию вдоль кривой от середины кривой до этой точки. Чем дальше уходишь вдоль кривой, тем плотнее она сворачивается; именно поэтому ее

спиральные участки закручиваются все плотнее. Физик Мари Альфред Корню наткнулся на эту же кривую в физике света, при преломлении света на прямой кромке. Инженеры-путейцы используют эту кривую при проектировании плавного перехода от прямого участка пути к повороту.

Бартольди и Энрикес доказали, что сходство между апельсиновой кожурой и спиралью Корню не случайно. Они записали уравнение, описывающее форму полоски апельсиновой кожуры для любой фиксированной ширины, и доказали, что чем меньше ширина полоски, тем сильнее ее форма приближается к форме спирали. При очень маленькой ширине форма фигуры становится похожей на спираль Корню со сколь угодно высокой точностью. Они отметили также, что эту спираль «открывали много раз в истории; наша, например, появилась за завтраком».

Дополнительную информацию см. в главе "Загадки разгаданные".

Как выиграть в лотерею?

Пожалуйста, обратите внимание на вопросительный знак в заголовке.

Чтобы выиграть джекпот в Национальной лотерее Великобритании (бездарно переименованной в Lotto), необходимо, чтобы шесть чисел от 1 до 49, выбранные вами заранее, совпали с числами, которые выберет лотерейный автомат в день розыгрыша. Существуют способы выиграть призы поменьше, но давайте сосредоточимся на максимальном результате. Шары вынимаются машиной в случайном порядке, но затем выстраиваются по возрастанию, чтобы участникам лотереи проще было определить, выиграли ли они что-нибудь. Поэтому если машина выберет следующие шары:

13 15 8 48 47 36,

то результат будет выдан в виде

8 13 15 36 47 48;

наименьшее число здесь, очевидно, равно 8, следующее – 13 и т. д.

Теория вероятностей говорит нам, что если любое число может выпасть с равной вероятностью (как и должно быть), то в пределах выбранного комплекта из шести чисел:

• наиболее вероятное наименьшее число равно 1;

• наиболее вероятное следующее по величине число равно 10;

• наиболее вероятное третье по величине число равно 20;

• наиболее вероятное четвертое по величине число равно 30;

• наиболее вероятное пятое по величине число равно 40;

• наиболее вероятное наибольшее число равно 49.

Все эти утверждения верны. Первое верно, потому что если в ряду чисел появляется 1, то она, естественно, становится наименьшей, что бы ни произошло далее. Однако в отношении числа 2 так уже нельзя сказать, потому что остается небольшая вероятность, что далее появится 1, которая и займет это место. Следовательно, вероятность того, что число 2 будет наименьшим после извлечения шести шаров, чуть меньше, чем для единицы.

Ну, хорошо, таковы математические факты. Поэтому на первый взгляд вы можете чуть-чуть увеличить свои шансы

на выигрыш, если выберете числа

1 10 20 30 40 49,

поскольку каждое из них – наиболее вероятный вариант в данном интервале.

Верно ли сказанное? Ответ см. в главе "Загадки разгаданные".

Кража

Случай с зелеными носками

– Вы прошли первое испытание, доктор. Но для настоящей проверки я должен посмотреть, как вы проведете криминальное расследование.

– Я готов, мистер Сомс. Когда мы начнем?

– Никогда не откладывай на завтра то, что можно сделать сегодня.

– Согласен, мы оба – люди действия. Что это будет за дело?

– Ваше собственное.

– Но…

– Мне кажется, что, хотя причиной вашего появления здесь был поиск работы, вы, помимо этого, стали жертвой преступления. Я ошибаюсь?

– Нет, но как…

– Когда вы только вошли в комнату, я инстинктивно понял, что вы нуждаетесь в моей помощи. Вы пытались это скрыть, но я видел это по вашему лицу и по манере держаться. Когда я решил проверить этот вывод и упомянул «преступление, жертвой которого вы стали», ваш ответ был уклончивым. Вы сказали, что пришли в первую очередь не как возможный клиент.

Ватсап вздохнул и тяжело опустился в кресло.

– Я боялся, что упоминание о моем собственном деле может отрицательно повлиять на ваше решение воспользоваться моими услугами, ведь вы могли подумать, что я просто пытаюсь получить бесплатный совет. Но я опять убедился, что вы видите меня насквозь, мистер Сомс.

– Это было неизбежно. Я думаю, мы вполне можем обойтись без формальностей. Вы можете называть меня Сомсом. А я буду называть вас Ватсапом.

– Это честь для меня, ми… э-э, Сомс, – Ватсап, откровенно взволнованный, сделал паузу, чтобы немного успокоиться: – Вообще-то случай несложный, вы с такими наверняка не раз сталкивались.

– Кража со взломом.

– Да. Как вы… не важно. Произошло это в начале года, и я немедленно обратился за профессиональной помощью к вашему соседу через дорогу. Через месяц, в течение которого не было получено совершенно никаких результатов, он заявил, что вопрос слишком тривиален, чтобы заинтересовать его могучий талант, и указал мне на дверь. Услышав, по счастливой случайности, о ваших расследованиях, я решил, что вы могли бы добиться успеха там, где это великое светило потерпело неудачу.

Ватсапу было ясно, что теперь он полностью овладел вниманием Сомса.

– Я клянусь, что помогу вам раскрыть это преступление, хотя бы для того, чтобы доказать свою полезность, – произнес Ватсап с чувством. – Если мы добьемся успеха… нет, когда мы добьемся успеха… я смогу с большим основанием надеяться на постоянное место. Я не могу заплатить вам гонорар, но могу предложить свои услуги бесплатно на два месяца. За это время я обеспечу постоянный поток клиентов, расхваливая вас направо и налево в обществе аристократов; этого хватит, чтобы кормить нас обоих и оплачивать скромное, но приличное жилье.