Математический аппарат инженера

Сигорский Виталий Петрович

Если матрица (квадратная) совпадает со своей транспонированной, т.е. A = A^t, то она называется симметричной и ее элементы связаны соотношением a_ij = a_ji (симметрия относительно главной диагонали). Матрица, для которой A = -A^t, называется кососимметричной, и ее элементы связаны соотношением a_ij = -a_ji . Она, как и симметричная матрица, всегда квадратная, но диагональные элементы равны нулю, т.е. a_ii = 0 (i = 1, 2, ..., n). Ниже приведены примеры симметричной и кососимметричной матриц:

Ясно,

что не все элементы таких матриц могут быть выбраны произвольно. Можно убедиться, что из n² элементов для симметричной матрицы независимыми могут быть только 1/2 n (n + 1), а для кососимметричной -1/2 n (n + 1) элементов.

– 35 -

Комплексно-сопряженная и транспонированная матрица (A)^t называется сопряженной с А и обозначается A*. Матрица, равная своей сопряженной, т.е. A = (A)^t = A*, называется эрмитовой. Если A = -(A)^t, то А — косоэрмитова матрица.

Легко показать, что транспонирование произведения АВ равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (AB)^t = B^tA^t. Дважды транспонированная матрица равна исходной, т.е. (A^t)^t = A.

7. Матричная запись системы линейных уравнений. Первоначально матрицы были введены для упрощения записи систем линейных уравнений, что и обусловило и определение основных матричных операций. Система линейных уравнений:

записывается одним матричным равенством

Действительно, перемножив в правой части равенства ( m x n ) - матрицу на столбцевую матрицу, получим

– 36 -

Из равенства матриц-столбцов следуют равенства для соответствующих элементов, которые совпадают с исходной системой уравнений. Если обозначить

то матричное равенство запишется еще короче

y = Ax.

Такое представление системы линейных уравнений оказалось возможным благодаря правилу умножения матиц, которое наилучшим образом подходит для этой цели. Однако исторически дело обстояло как раз наоборот: правила действий над матрицами определялись, прежде всего, исходя из удобства представлений систем линейных уравнений.

8. Линейные преобразования. Систему уравнений, записанную в начале предыдущего пункта, можно рассматривать как линейное преобразование совокупности величин x₁, x₂, ..., x_n в совокупность y₁, y₂, ..., y_m. Это преобразование полностью определяется коэффициентами a_ij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). На языке матриц линейное преобразование y = Ax означает преобразование

столбца х в столбец у, которое определяется матрицей преобразования А.

Пусть величины x₁, x₂, ..., x_n получаются из некоторой совокупности величин z₁, z₂, ..., z_n посредством линейного преобразования x = Bz, где x и z — столбцы соответствующих величин; В — матрица их преобразования. Тогда формальной подстановкой х в первое матричное уравнение получаем

y = Ax = A(Bz) = (AB)z = Cz,

где C = AB — матрица преобразования величин z и y. К этому же результату можно прийти путем подстановки значений x₁, x₂, ..., x_n из второй системы уравнений в первую с учетом введенного ранее правила умножения прямоугольных матиц.

9. Обратная матрица. В обычной алгебре два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными. Число, обратное числу a обозначают через a^{– 1} и по определению aa^{– 1} = 1

– 37 -

Аналогично в матричной алгебре две квадратные матрицы, произведение которых равно единичной матрице, т.е. AA^{– 1} = A^{– 1}A = 1, называют взаимно обратными ( A^{– 1} обратна A). Однако дальше этого аналогия не проходит.

Выражение a^{– 1}b, где a и b — числа, можно представить как частное от деления b на a, но для матриц такое представление не имеет смысла и в общем случае A^{– 1}B /= BA^{– 1}. Поэтому вместо операции деления В на А различают левое частное A^{– 1}B и правое частное BA^{– 1}, которые сводятся к умножению слева или справа на обратную матрицу A^{– 1}.

Способ обращения матрицы проще всего установить, рассматривая решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

В матричной форме эта система уравнений запишется как Ax = q, где А — квадратная матрица n-го порядка, называемая матрицей системы: x и q — столбцевые матрицы неизвестных переменных и свободных членов:

Матричное уравнение Ax = q решается умножением обеих его частей слева на обратную матрицу A^{– 1} т.е. A^{– 1}Ax = A^{– 1}q в результате получаем x = A^{– 1}q.

В соответствии с правилом Крамера неизвестные x_k(k = 1, 2, ..., n) определяются соотношением:

где — определитель системы уравнений _sk — алгебраические дополнения.

– 38 -

Определитель представляет собой числовую функцию, которая вычисляется по определенным правилам на основании квадратной таблицы, состоящей из коэффициентов системы уравнений