Математический аппарат инженера
Шрифт:
Табличное представление определителя по форме совпадает с матрицей системы уравнений, т.е. состоит из тех же элементов и в том же порядке, что и матрица А. В таких случаях его называют определителем матрицы А и записывают = detA.
Алгебраическое дополнение sk вычисляется как определитель матрицы, полученной удалением из матицы A s-й строки и k-го столбца, причем этот определитель умножается еще на (-1)s+k. Величину sk называют также алгебраическим дополнением элемента ask матрицы A. Часто определитель матрицы А обозначается через |A|, а алгебраическое дополнение — через Ask.
Записав для всех элементов столбцевой матрицы x
– 39 -
откуда, сравнивая с A– 1q, имеем
Из полученного выражения следует правило определения обратной матрицы: 1) элементы aij данной матрицы A n-го порядка заменяются их алгебраическими дополнениями ij: 2) матрица алгебраических дополнений транспонируется, в результате чего получаем присоединенную или взаимную матрицу к А ( она обозначается через AdjA); 3) вычисляется определитель матрицы А и присоединенная матрица AdjA умножается на величину, обратную этому определителю.
Обратная матрица существует для матрицы А при условии, что detA /= 0. Такие матрицы называются неособенными, в отличие от особенных (вырожденных), определитель которых равен нулю. Ниже вычисление обратной матрицы иллюстрируется примером:
– 40 -
Матрица, обратная произведению двух матриц, равна переставленному произведению матриц, обратных исходным, т.е. (AB)– 1 = B– 1A– 1. Действительно, умножив обе части этого равенства на АВ, приходим тождеству E = B– 1A– 1(AB), так как B– 1(A– 1A)B = B– 1EB = B– 1B =E, где E — единичная матрица n-го порядка.
10. Блочные матрицы. Часто матрицу удобно разбить вертикальными и горизонтальными линиями на блоки которые являются матрицами меньших размеров и при выполнении операций рассматриваются как элементы исходных матриц. Операции над блочными матрицами выполняются по сформулированным выше правилам при условии, что эти операции допускаются размерами соответствующих матриц.
Пусть, например, матрицы А и В разбиты на блоки (жирными линиями) так, чтобы для соответствующих блоков имела смысл операция умножения, т.е.
По правилу умножения прямоугольных матриц можно записать:
Вычислим блоки C11 и C21 матрицы C:
– 41 -
В результате имеем
Конечно,
Задачи и упражнения.
1. Любая матрица является прямоугольной таблицей. Справедливо ли обратное утверждение, т.е. можно ли считать всякую прямоугольную таблицу матрицей? Если нет,то какие дополнительные требования выдвигаются с позиций матричной алгебры?
2. Какие из приведенных ниже совокупностей объектов представляют собой матрицы:
3. Укажите, какие из приведенных ниже матриц являются равными между собой (при x=2)%
4. При каком значении x матрицы А и В равны:
5. Найти сумму А + В и разность А — В матриц:
6. Найти произведения АВ и ВА и сравнить полученные результаты для матриц:
– 42 -
7. Проверить дистрибутивность умножения слева А(В + С) = АВ + АС и справа (А + В)С = АС + ВС относительно сложения для следующих матриц:
8. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей
9. Каким условиям в общем случае должны удовлетворять элементы квадратных матиц А и В второго порядка, чтобы они были перестановочными (АВ = ВА)? Как выглядят эти условия для случая, когда А симметричная матрица?
10. При каких условиях справедливы матричные соотношения:
(A + B)2 = A2 + 2AB +B2; (A-B)(A+B) = A2 — B2?
11. Каким условиям должны удовлетворять элементы ненулевых квадратных матриц А и В, чтобы АВ = 0?
12. К каким типам относятся матрицы:
13. Построить транспонированную At, комплексно-сопряженную A и сопряженную А* для матрицы
14. Показать, что матрица
является эрмитовой. Что можно сказать о диагональных элементах любой эрмитовой матрицы?
15. Какого типа должна быть квадратная матрица А, чтобы она была перестановочной с диагональной матрицей D того же порядка, т.е. чтобы AD = DA?
16. К какому типу относятся треугольные матрицы, если они кроме того: а) симметричные, б) кососимметричные?
17. Показать, что (AB) = A B и (AB)* = B* A*.