Математический аппарат инженера

Сигорский Виталий Петрович

Рис. 5. Начертание цифр почтового индекса:

а- элементы исходного множества; б — цифры.

15. Докажите, что для конечного множества, состоящего из n элементов, множество всех его подмножеств содержит 2ⁿ элементов.

16. Проверьте свойство транзитивности отношения включения на примере множеств X = {b, c}, Y = {a, b, c}, Z = {b}.

17. Дайте словесное описание каждому из следующих

множеств:

а) {x|x — точка плоскости, находящаяся на расстоянии r от начала координат};

б) {x|x² — 4x + 3 = 0};

в) {x|x — инженер нашего отдела};

г) {x|x A и z B }; A — множество транзисторов; В — множество деталей радиоприемника;

д) {x R |x = 3k, k N} N — множество натуральных чисел;

е) {x² + 1 |x - целое число}

18. Покажите, что для любых множеств А и В справедливо соотношение A B A B

19. Покажите, что для любого множества А справедливы соотношения: A + A = ; A + = A.

20. Покажите, что из соотношения A B = C следует C A и C B.

21. Пусть M₁ и M₂ — соответственно множества деталей первого и второго механизмов, а Р — множество пластмассовых деталей. Запишите в виде теоретико-множественных соотношений следующие условия.

– 28 -

а) Среди деталей первого механизма имеются все пластмассовые детали.

б) Одинаковые детали, входящие в оба механизма, могут быть только пластмассовыми.

в) Во втором механизме нет пластмассовых деталей.

22. Является ли совокупность полученных в предыдущей задаче соотношений (Р M₁, M₁ M₂ P, M₂ P = ) непротиворечивой? Если да, то можно ли ее упростить? Для ответа на поставленные вопросы проведите сначала логические рассуждения, а затем воспользуйтесь кругами Эйлера. Сформулируйте выводы, соответствующие полученному результату.

23. Запишите множество упорядоченных пар (x, y), выражающих отношение «x — делитель y» на множестве целых чисел от 2 до 10 включительно. Является ли это отношение функцией? Обладает ли оно свойством транзитивности?

24. Запишите отношение между элементами множества цифр из задачи 13, выражающееся как «x имеет больше двух общих элементов с y».

25. Пусть x X, y Y и A — отношение между элементами множеств X и Y, выражаемое соотношением xAy. Укажите, в каких случаях А можно рассматривать как функцию:

а) X — множество студентов, Y - множество учебных дисциплин, xAy - «x изучает y»;

б) X - множество спортсменов, Y - рост в единицах длины, xAy - «x имеет рост y»;

в) X — множество компонентов электрической цепи, Y- множество узлов цепи, xAy - «x связан с y».

3. Матрицы

1. Матрица как таблица. Матрица – это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы:

Такая таблица, состоящая из m строк и n

столбцов, содержит mn клеток (позиций). При этом говорят, что матрица имеет размер m x n и ее называют ( m x n )-матрицей. Позиция на пересечении i -й строки и j -го столбца называется ij -клеткой.

Числа или любые другие объекты, расположенные в клетках таблицы, называют элементами матрицы. Положение элементов строго фиксировано: в каждой клетке должен располагаться только один элемент и ни одна клетка не должна оставаться свободной.

– 29 -

В общем обозначении элемента a_ij первый индекс i всегда указывает номер строки, а второй – номер столбца. Элемент, расположенный в ij -клетке, называют ij -элементом.

Матрица обозначается одной буквой (часто буквы, обозначающие матриц, набирают жирным шрифтом или снабжают какими-либо дополнительными символами). Однако независимо от принятого способа обозначения матрица всегда является совокупностью таблично упорядоченных элементов. Две матрицы равны, если и только если равны их соответствующие элементы, т.е. А = В при условии a_ij = b_ij (i = 1, 2, ... , n). Ясно, что сравнивать можно только матрицы одного и того же размера, между элементами которых определено отношение равенства.

Матрицы, элементами которых являются вещественные или комплексные числа, называют соответственно вещественными или комплексными. Пусть А — комплексная (m x n)-матрица с элементами a_ij = _ij + i_ij. Матрица A того же размера с элементами a^*_ij = _ij + i_ij называется комплексно-сопряженной с А.

Часто для упрощения нулевые элементы в таблицу не записывают, но при этом имеют в виду, что пустые клетки тоже содержат числа (нули).

Кроме приведенной выше клеточной записи, используют и другие способы представления матриц, например:

Матрицы впервые появились в середине прошлого столетия в работах английских математиков А. Кэли и У. Гамильтона. Представление совокупностей элементов в виде матриц и разработанные правила операций над ними оказались весьма плодотворными в математике и нашли широкое применение в физике, технике, экономике. Существенный вклад в разработку общей теории матриц и ее приложений внесли советские математики И. А. Лаппо-Данилевский, А. Н. Крылов, Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн.

2. Типы матриц. Матрица может иметь любое количество строк и столбцов (конечное или бесконечное). В дальнейшем при отсутствии оговорок будут рассматриваться конечные матрицы с числовыми элементами.

Если матрица состоит из одного столбца или одной строки, то она соответственно называется столбцовой или строчной (употребляются также названия матрица-столбец и матрица-строка). В таких случаях достаточно отмечать элементы одним индексом: