Математика космоса: Как современная наука расшифровывает Вселенную
Шрифт:
Форма и размер эллипса определяются двумя длинами: длиной большой оси, представляющей собой самый длинный отрезок прямой, соединяющий две точки на эллипсе, и длиной малой оси, которая перпендикулярна большой. Окружность – это разновидность эллипса, для которой две указанные длины равны; в этом случае они обе равны диаметру окружности. В астрономии радиус считается более удобной мерой. Так, радиус круговой орбиты равен расстоянию от планеты до Солнца и соответствующие величины для эллипса называют большим радиусом и малым радиусом. К этим же величинам относятся более громоздкие термины «большая полуось» и «малая полуось», поскольку они представляют собой половинки большой и малой оси. Менее интуитивно
9
Если большая полуось эллипса равна a, а малая b, то его фокус располагается на расстоянии
Размер и форму эллиптической орбиты можно охарактеризовать двумя числами. Как правило, выбирают большую полуось и эксцентриситет. Малую полуось можно вычислить исходя из этих двух параметров. Большая полуось орбиты Земли составляет 149,6 миллиона километров, ее эксцентриситет равен 0,0167; при этом малая полуось равняется 149,58 миллиона километров, так что орбита очень близка к круговой, на что указывает и малый эксцентриситет. Плоскость земной орбиты имеет особое название – эклиптика.
Пространственное положение любой другой эллиптической орбиты вокруг Солнца можно охарактеризовать тремя дополнительными числами; все три – угловые величины. Одна из этих величин представляет собой наклон орбитальной плоскости к плоскости эклиптики. Вторая величина, по существу, дает направление большой оси орбиты в этой плоскости. Третья дает направление прямой, по которой пересекаются эти две плоскости. Наконец, нам нужно знать, где именно на орбите в данный момент располагается планета, для чего потребуется еще один угол. Таким образом, для того, чтобы определить орбиту планеты и ее положение на этой орбите, нам требуется два числа и четыре угла – шесть орбитальных элементов. Главной целью ранней астрономии было вычислить орбитальные элементы каждой планеты и каждого астероида, которые удалось обнаружить. Имея эти числа, можно предсказывать будущее положение объекта, по крайней мере до тех пор, пока совместное воздействие других тел не приведет к существенному возмущению орбиты.
Со временем Кеплер смог сформулировать набор из трех элегантных математических закономерностей, которые в настоящее время называются законами планетарного движения. Первый из них гласит, что орбита любой планеты представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй – что отрезок прямой, соединяющий Солнце с планетой, за равные промежутки времени заметает равные площади. А третий говорит нам, что квадрат периода обращения пропорционален кубу расстояния.
Ньютон переформулировал наблюдения Галилея о свободно движущихся телах в виде трех законов движения. Первый из них утверждает, что тело, если на него не действует никакая сила, продолжает двигаться по прямой с постоянной скоростью. Второй гласит, что ускорение любого тела равняется действующей на него силе, отнесенной к массе тела. Третий говорит о том, что всякое действие порождает равное по величине и противоположное по направлению противодействие. В 1687 году Ньютон переформулировал и планетарные законы Кеплера, предложив общее правило, согласно которому движутся небесные тела, – закон всемирного тяготения, математическую формулу для силы, с которой произвольное тело притягивает любое другое тело.
В действительности он вывел свою формулу силы из законов Кеплера, сделав одно допущение: Солнце притягивает к себе планеты с силой, всегда направленной к его центру. Исходя из этого допущения, Ньютон доказал, что сила эта обратно пропорциональна квадрату расстояния. Таким замысловатым образом математики выражают ту мысль, что, к примеру, умножение массы любого из тел на три утраивает также и действующую силу, а вот умножение на три расстояния между объектами снижает силу притяжения между ними до 1/9 первоначального значения. Ньютон доказал также обратное утверждение: из «закона обратных квадратов» следуют три закона Кеплера.
Слава открывателя закона всемирного тяготения справедливо досталась Ньютону, но идея, по существу, была неоригинальна. Кеплер вывел нечто подобное по аналогии со светом, но
Гук, правда, признал, что только Ньютон сумел определить, что замкнутые орбиты имеют форму эллипса. Ньютон знал, что обратно-квадратичная зависимость допускает также параболические и гиперболические орбиты, но эти кривые не являются замкнутыми, так что движение по ним не повторяется периодически. Орбиты такого рода также находят применение в астрономии, в основном там, где речь идет о кометах.
Закон Ньютона превосходил законы Кеплера благодаря одной дополнительной черте, которая была предсказанием, а не теоремой. Ньютон понял, что, поскольку Земля притягивает Луну, разумно предположить, что и Луна, в свою очередь, притягивает Землю. Земля и Луна, как два сельских танцора, держась за руки, кружатся в бесконечном танце. Каждый танцор чувствует, с какой силой партнер тянет его за руки. Каждый танцор удерживается на месте посредством этой силы: если разжать руки, танцоры, кружась, унесутся по залу в разные стороны. Однако Земля намного массивнее Луны, так что процесс напоминает танец толстяка с маленьким ребенком. При этом кажется, что толстяк кружится на месте, а ребенок носится вокруг него кругами. Но посмотрите внимательно, и вы увидите, что толстяк тоже описывает круги: его ноги движутся по небольшому кругу, а центр, вокруг которого он вращается, расположен немного ближе к ребенку, чем должно было бы быть, если бы он вращался один.
Такие рассуждения привели Ньютона к предположению о том, что каждое тело во Вселенной притягивает к себе все остальные тела. Законы Кеплера приложимы только к двум телам – Солнцу и планете. Закон Ньютона применим к любой системе тел в принципе, поскольку он дает как величину, так и направление всех возникающих в системе сил. При подстановке в законы движения комбинация всех этих сил определяет ускорение каждого тела и, следовательно, его скорость и положение в любой момент времени. Провозглашение универсального закона гравитации стало эпохальным событием в истории науки – событием, которое позволило прояснить скрытый математический механизм, обеспечивающий существование Вселенной.
Ньютоновы законы движения и гравитации положили начало долговременному союзу между астрономией и математикой – союзу, которому мы обязаны значительной частью того, что знаем сегодня о космосе. Но даже если вы поняли, что представляют собой эти законы, то это не значит, что вы сможете напрямую применить их к решению конкретных задач. Сила тяготения, к примеру, нелинейна – этот технический термин означает, в сущности, что вы не можете решать уравнения движения при помощи красивых формул. И при помощи некрасивых, кстати говоря, тоже.
Математики постньютоновской эпохи обходили это препятствие двумя способами: либо разбирали совершенно искусственные (хотя и очень интересные) задачи, такие, например, как взаимодействие трех одинаковых масс, расположенных в вершинах равностороннего треугольника, либо искали приближенные решения более реалистичных задач. Второй подход более практичен, но следует отметить, что немало полезных идей удалось извлечь именно из первого подхода, несмотря на всю его искусственность.
На протяжении долгого времени научным наследникам Ньютона приходилось производить все вычисления вручную – и во многих случаях это была поистине героическая задача. Яркий пример такого рода – Шарль-Эжен Делоне, который в 1846 году начал вычислять приближенную формулу движения Луны. На это у него ушло более двадцати лет, а результаты пришлось публиковать в двух томах. В каждом из этих томов более 900 страниц, и весь второй том занимает собственно формула. В конце XX века результат Делоне удалось проверить с применением компьютерной алгебры (программных систем, способных манипулировать не только числами, но и формулами). Было выявлено всего две небольшие ошибки, одна из которых является следствием другой; суммарный эффект от обеих ошибок пренебрежимо мал.