Математика космоса: Как современная наука расшифровывает Вселенную
Шрифт:
Законы движения и гравитации – это законы особого рода, законы, выражаемые так называемыми дифференциальными уравнениями. Такие уравнения задают скорость, с которой те или иные величины изменяются с течением времени. Скорость – это быстрота изменения положения тела; ускорение – это быстрота изменения скорости. Знание скорости, с которой в настоящее время изменяется та или иная величина, позволяет вам спроецировать эту величину в будущее. Если машина едет со скоростью 10 метров в секунду, то через секунду она сдвинется на 10 метров. Однако для того, чтобы считать таким способом, нужно, чтобы скорость была постоянной. Если же машина ускоряется, то за секунду она отъедет от вас более чем на 10 метров. Чтобы обойти эту проблему, в дифференциальных уравнениях указывается мгновенная быстрота изменения. По существу, они работают с очень короткими промежутками времени, так что быстроту изменения
Компьютеры произвели в этом деле настоящую методологическую революцию. Вместо расчета приближенных формул движения, а затем подстановки чисел в эти формулы теперь можно с самого начала работать с числами. Предположим, вы хотите предсказать, где некоторая система тел – скажем, спутники Юпитера – будет находиться через сто лет. Начните с первоначальных позиций и параметров движения Юпитера, его спутников и всех остальных тел, которые могут иметь значение, – в данном случае это Солнце и Сатурн. Затем, постепенно, один крошечный временной шаг за другим, вычисляйте, как изменяются числа, описывающие все задействованные тела. Повторяйте это действие до тех пор, пока не дойдете до временной отметки сто лет. Стоп. Человек, проводящий вычисления при помощи карандаша и бумаги, не смог бы воспользоваться этим методом для расчета сколько-нибудь реалистичной задачи. На это потребовалось бы несколько жизней. Однако при наличии быстрого компьютера метод становится вполне реализуемым, а современные компьютеры очень и очень быстры.
Откровенно говоря, все не настолько просто. Притом что ошибка на каждом шаге (вызванная тем, что мы считаем быстроту изменений постоянной, хотя на самом деле она успевает немного измениться) очень мала, шагов вам придется сделать ужасно много. При многократных операциях с маленькой ошибкой на каждом шагу результирующая ошибка не обязательно получится маленькой, но тщательно продуманные методы позволяют удержать ошибки под контролем. Именно на это нацелена целая область математики, известная как численный анализ. Удобно называть такие методы «моделированием», что отражает принципиальную роль в них компьютера. Важно понимать, что невозможно решить задачу, просто «засунув ее в компьютер». Кто-то должен запрограммировать машину, задать ей математические правила, которые обеспечат близость вычислительных результатов к реальности.
Правила, о которых идет речь, настолько точны, что астрономы могут предсказывать затмения Солнца и Луны с точностью до секунды, а положение планеты с точностью до нескольких километров на сотни лет вперед. Подобные «предсказательные» расчеты можно проводить и назад во времени, чтобы можно было точно определить, когда и где произошли известные нам по историческим хроникам затмения. Эти данные используются, к примеру, для датирования наблюдений, сделанных тысячи лет назад китайскими астрономами.
Даже сегодня математики и физики продолжают открывать новые неожиданные следствия из закона всемирного тяготения Ньютона. В 1993 году Крис Мур при помощи численных методов показал, что три тела с идентичными массами могут вечно гоняться друг за другом по одной и той же орбите в форме восьмерки, а в 2000-м Карлес Симо также численно показал, что эта орбита стабильна с точностью, возможно, до медленного дрейфа. В 2001 году Ален Ченсинер и Ричард Монтгомери привели строгое доказательство существования такой орбиты на основе принципа наименьшего действия – фундаментальной теоремы классической механики. Симо открыл множество подобных «хореографий», в которых несколько тел одинаковой массы преследуют друг друга, двигаясь все время по одному и тому же (сложному) пути.
Орбита в форме восьмерки для трех тел, судя по всему, сохраняет стабильность и при слегка различных массах тел, что открывает небольшую вероятность того, что где-то во Вселенной три реальные звезды могут вести себя таким замечательным образом. Согласно оценкам Дугласа Хегги, по одной такой тройной системе может приходиться на каждую галактику, а уж вероятность существования во Вселенной хотя бы одной такой системы довольно значительна.
Все
Коллапсирующие газовые облака порождают плоские орбиты, поэтому образование планет на описанных выше орбитах маловероятно. Но планета (или астероид), оказавшаяся в результате возмущения на сильно наклоненной орбите, может в редких случаях быть захвачена двойной звездой и в результате оказаться на спиральной орбите между ними. Некоторые данные указывают на то, что Kepler-16b – планета, обращающаяся вокруг одной далекой звезды, – может относиться к этой редкой категории.
Следует отметить, что один из аспектов закона всемирного тяготения немало беспокоил великого автора; по существу, он беспокоил автора закона сильнее, чем большинство его последователей. Как известно, закон описывает силу, с которой одно тело действует на другое, но ничего не говорит о том, как эта сила работает. Закон просто постулирует загадочное «дальнодействие». Когда Солнце притягивает Землю, Земля каким-то образом должна «знать», как далеко она находится от Солнца. Если бы, к примеру, оба объекта соединяла какая-то эластичная веревочка, то эта веревочка могла бы передавать воздействие; тогда величину силы определяли бы физические характеристики связи. Но между Солнцем и Землей нет никакой материальной связи, одно только пустое пространство. Как же Солнце узнает, с какой силой надо тянуть Землю, и как Земля узнает, с какой силой ее тянут? [10]
10
Вот как писал об этом сам Ньютон в письме к Ричарду Бентли, написанном в 1692 или 1693 году: «Непостижимо, что неодушевленная Материя может, без Посредничества чего-то еще, что не является материальным, оказывать влияние и действовать на другую материю без обоюдного Контакта… То, что одно тело может действовать на другое на расстоянии через Вакуум, вообще без какого бы то ни было Посредничества… для меня настолько Абсурдно, что я убежден: ни один Человек, имеющий в философских Вопросах компетентные Способности мышления, никогда с этим не согласится».
С практической точки зрения мы можем применять закон всемирного тяготения, не тревожась о том, посредством какого физического механизма сила передается от одного тела другому. Вообще говоря, все именно этим и занимаются. Однако некоторые ученые обладают отчетливой философской жилкой; самый яркий пример – Альберт Эйнштейн. Его специальная теория относительности, опубликованная в 1905 году, изменила представления физиков о пространстве, времени и веществе. Расширение этой теории в 1915 году до общей теории относительности изменило также их представления о гравитации – и, как бы между прочим, разрешило щекотливый вопрос о том, как сила может действовать на расстоянии. Для этого общая теория относительности, собственно говоря, избавилась от силы.
Эйнштейн вывел специальную теорию относительности из одного-единственного фундаментального принципа: скорость света [11] остается неизменной, даже если наблюдатель сам движется с постоянной скоростью. В Ньютоновой механике, если вы находитесь в отрытом автомобиле и бросаете вперед по ходу движения мяч, то скорость мяча, измеренная неподвижным наблюдателем на обочине, будет равна скорости мяча по отношению к автомобилю плюс скорость автомобиля. Аналогично, если вы будете светить фонарем вперед по направлению движения, то скорость света, измеренная человеком на обочине, должна, по идее, равняться обычной скорости света плюс скорость автомобиля.
11
В вакууме. – Прим. ред.