Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

РАЛЬФ ВИНС РАЛЬФ

W. = вес компонента i в портфеле (из единичной матрицы);

f _i = фактор f (от 0 до 1) компонента i в портфеле.

Можно сказать, что при торговле на основе динамического дробного f мы прово­дим страхование портфеля. При этом минимально допустимый уровень стоимос­ти портфеля равен: первоначальный неактивный баланс плюс стоимость проведе­ния страхования. Далее для простоты будем считать, что нижняя граница счета равна первоначальному неактивному балансу.

Обратите внимание, что уравнения (8.04а) и (8.046) позволяют получить дельту моделируемого колл-опциона. Разделение счета на неактивный и ак­тивный подсчета (для использования стратегии динамического дробного f) эк­вивалентно покупке пут-опциона, цена исполнения которого больше текущей стоимости базового актива, а дата

истечения наступает не скоро. Мы можем также сказать, что торговля с использованием стратегии динамического дроб­ного f аналогична покупке колл-опциона, цена исполнения которого меньше текущей стоимости базового актива. Данное свойство страхования портфеля справедливо для любой стратегии динамического дробного f, независимо от того, используем мы усреднение по акциям, планирование сценария или по­лезность инвестора.

Можно использовать страхование портфеля в качестве метода переразмеще­ния. Сначала следует определить значение минимального ценового уровня, за­тем для выбранной модели опциона вы должны определить дату истечения, уро­вень волатильности и другие входные параметры, которые позволят рассчитать дельту. После того как будет найдена дельта, вы можете определить величину активного баланса. Так как дельта для счета (переменная Н в уравнении (8.04а)) равна дельте моделируемого колл-опциона, мы можем заменить Н в уравнении (8.04а) на D:

D=f*A/E

или

(8.06) D / f= А / Е, если D < f (в противном случае А / Е = 1),

где D = коэффициент хеджирования моделируемого опциона;

f = f (от 0 до 1) из уравнения (8.05);

А = активная часть средств счета;

Е = общий баланс счета.

Так как отношение А/Е равно доле активного счета, можно сказать, что отноше­ние активного баланса к общему балансу равно отношению дельты колл-опциона к f из уравнения (8.05). Заметьте, если D > f, тогда предполагается, что вы разме­щаете больше 100% баланса счета в активный баланс. Так как это невозможно, для активного баланса существует верхняя граница — 100%. Вы можете использовать уравнение (5.05) для поиска дельты колл-опциона на акции или уравнение (5.08) для поиска дельты колл-опциона на фьючерсы.

Проблема использования страхования портфеля в качестве метода переразме­щения состоит в том, что переразмещение уменьшает эффективность стратегии динамического дробного f, которая асимптотически способна дать большую при­быль, чем стратегия статического дробного f. Таким образом, страхование порт­феля как стратегия переразмещения на основе динамического дробного f являет­ся не самым лучшим подходом

Теперь рассмотрим реальный пример страхования портфеля. Вспомним геометрический оптимальный портфель Toxico, Incubeast и LA Garb, который достигается при V= 0,2457. Преобразуем дисперсию портфеля в значение волатильности для модели ценообразования опционов. Волатильность задается годовым стандартным отклонением. Уравнение (8.07) показывает зависимость между дисперсией портфеля и оценочной волатильностью для опциона по портфелю:

(8.07) OV=V'0.5)*ACTV*YEARDAYS^0.5,

где OV = волатильность для опциона по портфелю;

V = дисперсия портфеля;

ACTV = текущая активная часть баланса счета;

YEARDAYS = число рыночных дней в году.

Если мы исходим из того, что в году 251 рыночный день и доля активного баланса равна 100% (1,00), то:

OV= (0,2457 ^ 0,5) * 1 * 251 ^{^} 0,5 = 0,4956813493 * 15,84297952 = 7,853069464

Полученное значение соответствует волатильности свыше 785%! Посколь­ку речь идет о торговле на уровне оптимального f при 100% активном балансе, значение волатильности настолько велико. Так как мы собираемся использо­вать страхование портфеля в качестве метода переразмещения, то ACTV= 1,00.

Уравнение (5.05) позволяет рассчитать дельту колл-опциона:

(5.05) Дельта колл-опциона = N(H) Значение Н для (5.05) найдем из уравнения (5.03):

где U = цена базового инструмента;

Е = цена исполнения опциона;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выражен­ная десятичной дробью;

V = годовая волатильность в процентах;

R = безрисковая ставка;

1n = функция натурального логарифма;

N = кумулятивная

нормальная функция распределения вероятнос­тей, задаваемая уравнением (3.21).

Отметьте, что мы используем модель ценообразования фондовых опционов. Для волатильности будем использовать значение OV. Если безрисковая став­ка R = 6% и доля года, оставшаяся до истечения срока, Т = 0,25, то из (5.03) получим:

Полученное значение подставим в уравнение (5.05). Теперь для расчета дельты колл-опциона решим уравнение (3.21):

Подставим значения Y и N'(1,967087528) в уравнение (3.21) для получения дельты колл-опциона, в соответствии с уравнением (5.05):

Таким образом, когда цена портфеля равна 100, цена исполнения 100, доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, составляет 0,25, безрисковая ставка равна 6%, а волатильность портфеля 785,3069464%, дельта нашего гипотетическо­го колл-опциона равна 0,9754135259. Сумма весов геометрического оптимального портфеля, состоящего из Toxico, Incubeast и LA Garb, найденная из уравнения (8.05), составляет 1,9185357. Таким образом, принимая во внимание уравнение (8.06), при страхо­вании портфеля мы можем переразмещать до 50,84156244% (0,9754135359/ /1,9185357). Во сколько обходится страхование? Все зависит от волатильности в течение срока действия смоделированного опциона. Например, если за время дей­ствия смоделированного опциона баланс на счете не колеблется (волатиль­ность равна 0), цена смоделированного опциона, т.е. стоимость страхования, равна нулю. В этом заключается большое преимущество страхования портфе­ля по сравнению с реальной покупкой пут-опциона (если этот пут-опцион по портфелю существует). Мы платим теоретическую цену опциона, исходя из той волатильности, которой реально подвержен портфель, а не той, которая существовала на рынке до открытия позиции, как бывает при покупке пут-оп­циона. Кроме того, реальная покупка пут-опциона (опять же, если пут-опци­он по нашему портфелю существует) влечет за собой расходы, связанные со спредом покупки/продажи. При моделировании опциона таких расходов не возникает.

Необходимые залоговые средства

Мы видели, что при добавлении рыночной системы портфель улучшается, если коэффициент линейной корреляции изменений дневного баланса между этой рыночной системой и другой рыночной системой в портфеле меньше +1, поскольку в этом случае повышается среднее геометрическое дневных HPR. Таким образом, логично использовать как можно больше рыночных систем. Естественно, на каком-то этапе может возникнуть проблема с залоговыми средствами. Проблема, связанная с нехваткой залоговых средств, может возникнуть даже в том случае, если вы используете только одну рыночную систему. Как правило, оптимальное долларовое f меньше первоначальных залоговых требований для данного рынка. Если же доля f очень высока (неважно, используете вы стратегию статического или динамического дробного f), вы можете столкнуться с требова­нием довнесения залога (margin call), в противном случае позиция будет принуди­тельно закрыта. Если вы используете портфель рыночных систем, требование дополнительно­го внесения залога становится еще более вероятным. В неограниченном портфеле сумма весов часто значительно больше 1. Когда вы используете только одну ры­ночную систему, вес де-факто равен единице. Если сумма весов рыночных систем равна, например, трем, тогда вероятность требования внесения залога в три раза выше, чем в случае торговли только на одном рынке. Оптимальный портфель следует создавать с учетом минимально необходимых залоговых средств для компонентов портфеля. Это достаточно легко сделать: надо определить, какую долю f вы можете использовать в качестве верхней границы U; ее можно найти с помощью уравнения (8.08):