Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Таким образом, введя актуально бесконечные множества, Кантор выступил против традиционных представлений о бесконечности, разделяемых великими математиками прошлого. Свою позицию Кантор пытался аргументировать ссылкой на то, что потенциальная бесконечность в действительности зависит от логически предшествующей ей актуальной бесконечности. Кантор указывал также на то, что десятичные разложения иррациональных чисел, например числа 2, представляют собой актуально бесконечные множества, поскольку любой конечный отрезок такого разложения дает лишь конечное приближение к иррациональному числу. Сознавая, сколь резко он расходится во взглядах со своими предшественниками, Кантор с горечью признался в 1883 г.: «Я оказался в своего рода оппозиции к общепринятым взглядам на математическую бесконечность и к нередко отстаиваемым суждениям о природе числа».
В 1873 г. Кантор не только занялся изучением бесконечных множеств как «готовых» (т.е. реально существующих) сущностей, но и поставил задачу классифицировать актуально бесконечные множества ([15]*, [53]). Введенные Кантором определения
1 2 3 4 5 …,
2 4 6 8 10 …
Каждому целому числу при этом соответствует ровно одно четное число (равное удвоенному целому), а каждому четному числу соответствует ровно одно целое число (равное половине четного). Следовательно, в каждом из двух бесконечных множеств — множестве целых чисел и множестве четных чисел — элементов столько же, сколько в другом множестве. Установленное соответствие (то, что все множество целых чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с частью этого множества) казалось неразумным предшественникам Кантора {99} и заставляло их отвергать все попытки рассмотрения бесконечных множеств. Но это не испугало Кантора. С присущей ему проницательностью он понял, что бесконечные множества могут подчиняться новым законам, не применимым к конечным совокупностям или множествам, подобно тому как, например, кватернионы подчиняются законам, не применимым к вещественным числам. И Кантор определил бесконечное множество как такое множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие со своим собственным (т.е. отличным от всего множества) подмножеством.
99
Впрочем, еще Галилей, исходя из сходных соображений, утверждал, что квадратов начальных чисел имеется столько же, сколько и самих натуральных чисел.
Идея взаимно-однозначного соответствия привела Кантора к неожиданному результату: он показал, что можно установить взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и точками плоскости (и даже точками n-мерного пространства). По поводу этого результата он писал в 1877 г. своему другу Рихарду Дедекинду: «Я вижу это, но не могу в это поверить». Тем не менее Кантор поверил в правильность полученного им результата и, следуя принципу взаимно-однозначного соответствия, установил для бесконечных множеств отношение эквивалентности, или равенства («равномощности» двух множеств).
Кантор выяснил также, в каком смысле следует понимать, что одно бесконечное множество большедругого {100} : если множество Aможно поставить во взаимно-однозначное соответствие с частью или собственным подмножеством множества B,а множество Bневозможно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством Aили собственным подмножеством множества A,то множество Bпо определению больше множества A.Это определение по существу обобщает на бесконечные множества то, что непосредственно очевидно в случае конечных множеств. Если у нас имеется 5 шаров и 7 книг, то между шарами и частью книг можно установить взаимно-однозначное соответствие, но невозможно установить взаимно-однозначное соответствие между всеми книгами и всеми шарами или частью шаров. Используя свои определения равенства и неравенства бесконечных множеств, Кантор сумел получить поистине удивительный результат: множество целых чисел равно («равномощно») множеству рациональных чисел (всех положительных и отрицательных целых чисел и дробей), но меньше множества всех вещественных (рациональных и иррациональных) чисел.
100
Фундаментом идущей от Кантора «иерархии бесконечностей» является (ныне широкоизвестная и в ряде стран включаемая даже в школьные учебники математики) теорема Кантора — Бернштейна,согласно которой если два множества Aи Bтаковы, что существует взаимно-однозначное соответствие между Aи частью (подмножеством) Bи между Bи частью A, то можно установить также и взаимно-однозначное соответствие между Aи B;
Подобно тому как количество элементов в конечных множествах мы обозначаем числами 5, 7, 10 и т.д., Кантор предложил ввести специальные символы nдля обозначения количеств элементов в бесконечных множествах. Множество целых (или натуральных) чисел и множества, которые можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с этим множеством, содержат одинаковое количество (или «число») элементов, которое Кантор обозначил символом N 0(алеф-нуль; алеф — первая буква алфавита на иврите). Так как, по доказанному, множество всех вещественных чисел больше множества целых чисел, Кантор обозначил количество элементов в множестве всех вещественных чисел новым символом — c.
Кантору удалось доказать, что для любого заданного множества всегда найдется множество, большее исходного. Так, множество всех подмножеств данного множествавсегда больше первого множества. Не вдаваясь в подробности доказательства этой теоремы, продемонстрируем разумность этого результата на примере конечных множеств. Если множество состоит из 4 элементов, то из них можно составить 4 различных подмножества, содержащих по 1 элементу; 6 различных подмножеств, содержащих по 2 элемента; 4 различных подмножества, содержащих 3 элемента; наконец, 1 множество, содержащее 4 элемента. Если добавить сюда еще пустое множество, совсем не содержащее элементов, то общее число подмножеств окажется равным 16 = 2 4, что, разумеется, больше 4. В соответствии с результатом, имеющим место для конечных множеств, Кантор обозначил количество подмножеств (бесконечного!) множества, содержащего элементов (где — трансфинитное число), через 2 ; его результат гласил: 2 > . Рассматривая все возможные подмножества множества целых чисел, Кантор сумел показать, что 2 N0 = c,где c— «число» всех вещественных чисел.
Когда Кантор в 70-х годах XIX в. приступил к созданию теории бесконечных множеств и еще много лет спустя, эта теория находилась на периферии математической науки. Доказанные им теоремы о тригонометрических рядах не были столь уж фундаментальными. Но к началу XX в. канторовская теория множеств нашла широкое применение во многих областях математики. Кантор и Рихард Дедекинд понимали, сколь важна теория множеств для обоснования теории целых чисел (конечных, или «финитных», и трансфинитных) для анализа понятий линии или размерности и даже для оснований математики. Другие математики, в частности Эмиль Борель и Анри Леон Лебег, к тому времени уже работали над обобщением интеграла, в основу которого была положена канторовская теория бесконечных множеств.
Поэтому, когда сам Кантор обнаружил, что его теория множеств сопряжена с определенными трудностями, это было далеко не маловажным событием. Как уже говорилось, Кантор установил, что существуют все большие бесконечные множества, т.е. все большие трансфинитные числа. Но в 1895 г. у Кантора возникла идея рассмотреть множество всехмножеств.Мощность такого «сверхмножества» должна была бы быть самой большой из возможных. Но еще ранее Кантор доказал, что множество всех подмножеств любого заданного множества должно обладать трансфинитным числом, которое превосходит трансфинитное число, отвечающее исходному множеству. Следовательно, заключил Кантор, должно существовать трансфинитное число, превосходящее наибольшее из трансфинитных чисел. Придя к столь нелепому выводу, Кантор сначала растерялся; однако затем он решил, что все множества можно разбить на противоречивыеи непротиворечивые,и в 1899 г. сообщил об этом Дедекинду. Таким образом, множество всех множеств и соответствующее ему трансфинитное число попадали в разряд «противоречивых» — и тем самым исключались из рассмотрения.
Когда Бертран Рассел (1872-1970) впервые узнал о выводе, к которому пришел Кантор по поводу множества всех множеств, он усомнился в правильности рассуждений Кантора. В 1901 г. Рассел писал в своей работе, что Кантор, должно быть, «совершил очень тонкую логическую ошибку, которую я [Рассел] надеюсь объяснить в одной из следующих работ». Ясно, продолжал Рассел, что наибольшее трансфинитное число должно существовать, так как если взято все, то не останется ничего и, следовательно, ничего нельзя добавить. Рассел принялся размышлять над этой проблемой — и лишь пополнил арсенал проблем своим собственным «парадоксом», с которым мы вскоре познакомимся. Когда шестнадцать лет спустя статья Рассела была перепечатана в сборнике «Мистицизм и логика», он счел нужным добавить к ней подстрочное примечание, в котором извинился за допущенную ранее ошибку, ибо объяснить парадокс Кантора ему так и не удалось.