Математики тоже шутят
Шрифт:
Отсюда, согласно принципу математической индукции, все лошади одного цвета. Теорема доказана.
12. Немного о крокодилах
Еще одна замечательная иллюстрация применения математических методов к зоологии.
Теорема: Крокодил более длинный, чем широкий.
Доказательство. Возьмем произвольного крокодила и докажем две вспомогательные леммы.
Лемма 1: Крокодил более длинный, чем зеленый.
Доказательство. Посмотрим
Следовательно, лемма 1 доказана.
Лемма 2: Крокодил более зеленый, чем широкий.
Доказательство.Посмотрим на крокодила еще раз сверху. Он зеленый и широкий. Посмотрим на крокодила сбоку: он зеленый, но не широкий. Это доказывает лемму 2.
Утверждение теоремы, очевидно, следует из доказанных лемм.
Обратная теорема («Крокодил более широкий, чем длинный») доказывается аналогично.
На первый взгляд, из обеих теорем следует, что крокодил — квадратный. Однако, поскольку неравенства в их формулировках строгие, то настоящий математик сделает единственно правильный вывод: КРОКОДИЛОВ НЕ СУЩЕСТВУЕТ!
13. Опять индукция
Теорема: Все натуральные числа равны между собой.
Доказательство. Необходимо доказать, что для любых двух натуральных чисел Aи Bвыполнено равенство A= B. Переформулируем это в таком виде: для любого N> 0 и любых Aи B, удовлетворяющих равенству max( A, B) = N, должно выполняться и равенство A= B.
Докажем это по индукции. Если N= 1, то Aи B, будучи натуральными, оба равны 1. Поэтому A= B.
Предположим теперь, что утверждение доказано для некоторого значения k. Возьмем Aи Bтакими, чтобы max( A, B) = k+ 1. Тогда max( A–1, B–1) = k. По предположению индукции отсюда следует, что ( A–1) = ( B–1). Значит, A= B.
14. Все обобщения неправильны!
Любители лингвистических и математических головоломок наверняка знают про рефлексивные, или самоописывающиеся (не подумайте ничего плохого), самоотносимые слова, фразы и числа. К последним,
К самоописывающимся словам относится, скажем, слово двадцатиоднобуквенное, придуманное мной несколько лет назад. В нем действительно 21 буква!
Самоописывающихся фраз известно великое множество. Один из первых примеров на русском придумал много лет назад знаменитый карикатурист и словесный остроумец Вагрич Бахчанян: В этом предложении тридцать две буквы. Вот несколько других, придуманных гораздо позже: 1. Семнадцать буковок. 2. В этом предложении есть ошибка, расположенная в канце. 3. Это предложение состояло бы из семи слов, если было бы на семь слов короче. 4. Вы находитесь под моим контролем, поскольку вы будете читать меня, пока не дочитаете до конца. 5. ... Это предложение начинают и заканчивают три точки.
Есть и более сложные конструкции. Полюбуйтесь, например, на вот этого монстра (см. заметку С. Табачникова «У попа была собака» в журнале «Квант», № 6, 1989): В этой фразе два раза встречается слово «в», два раза встречается слово «этой», два раза встречается слово «фразе», четырнадцать раз встречается слово «встречается», четырнадцать раз встречается слово «слово», шесть раз встречается слово «раз», девять раз встречается слово «раза», семь раз встречается слово «два», три раза встречается слово «четырнадцать», три раза встречается слово «три», два раза встречается слово «девять», два раза встречается слово «семь», два раза встречается слово «шесть».
Через год после публикации в «Кванте» И. Акулич придумал самоописывающуюся фразу, описывающую не только слова в нее входящие, но и знаки препинания: Фраза, которую Вы читаете, содержит: два слова «Фраза», два слова «которую», два слова «Вы», два слова «читаете», два слова «содержит», двадцать пять слов «слова», два слова «слов», два слова «двоеточие», два слова «запятых», два слова «по», два слова «левых», два слова «и», два слова «правых», два слова «кавычек», два слова «а», два слова «также», два слова «точку», два слова «одно», два слова «одну», двадцать два слова «два», три слова «три», два слова «четыре», три слова «пять», четыре слова «двадцать», два слова «тридцать», одно двоеточие, тридцать запятых, по двадцать пять левых и правых кавычек, а также одну точку.
Наконец, еще через несколько лет все в том же «Кванте», появилась заметка А. Ханяна, в которой приводилась фраза, скрупулезно описывающая все свои буковки: В этой фразе двенадцать В, две Э, семнадцать Т, три О, две Й, две Ф, семь Р, четырнадцать А, две 3, двенадцать Е, шестнадцать Д, семь Н, семь Ц, тринадцать Ь, восемь С, шесть М, пять И, две Ч, две Ы, три Я, три Ш, две П.
«Явно чувствуется, что не хватает еще одной фразы — которая рассказывала бы и о всех своих буквах, и о знаках препинания», написал в частном письме ко мне И. Акулич, породивший одного из приведенных ранее монстров. Возможно, эту весьма непростую задачу решит кто-либо из наших читателей.