Мечта об идеальной карте. Картография и математика
Шрифт:
Основной задачей картографии является изучение проекций. В этой главе мы подробнее расскажем о проекциях, лежащих в основе карт. Мы приведем их классификацию по форме построения, геометрическим свойствам, изучим характерные особенности, в частности искажения, возникающие при использовании разных проекций, а также рассмотрим основные результаты математической картографии и их применение при составлении реальных карт.
Третья и последняя часть картографии — это дизайн и составление карт. Традиционно карты имеют бумажную основу. В прошлом они рисовались вручную, позднее, с изобретением книгопечатания, стали изготавливаться печатным способом, и качество карт неуклонно возрастало. Сегодня благодаря новым технологиям стало возможным публиковать цифровые карты и карты других форматов. Любой, кто работает с такой картой, может не просто пассивно получать
Еще две важные части картографии — это история картографии, а также изучение способов применения карт. Изучение истории карт помогает лучше разобраться в них, осознать их роль в истории человечества и понять, как выглядел мир в разные времена для разных народов. Не следует забывать, что зная прошлое, мы сможем понять будущее и сделать его лучше. Наконец, изучение способов применения карт позволяет сделать их намного эффективнее, создавать новые методы, новые проекции, которые помогут решить текущие задачи.
В ходе истории картографы и математики работали над созданием совершенной карты, стремясь найти такую проекцию земной поверхности на плоскость, которая позволила бы составить наиболее точную карту нашей планеты. В этой главе мы вновь рассмотрим вопросы, перечисленные в предисловии. Их можно свести к одному, главному вопросу: как составить правильную карту Земли? Однако вначале следует выяснить, какую карту можно считать «правильной».
* * *
КАРТЫ ДЛЯ РАЗГАДКИ ЗАГАДОК
Иногда представление статистических данных на карте помогает совершить открытие. Карта позволяет увидеть закономерности, не столь заметные при ином способе представления данных. Простой пример этого — карта эпидемии холеры, составленная Джоном Сноу в 1854 году. В середине XIX века причины возникновения холеры и других инфекционных заболеваний были неизвестны. Возбудителями подобных заболеваний считались «миазмы» — вредоносные субстанции, передающиеся по воздуху. За несколько лет Лондон пережил множество вспышек холеры, унесших тысячи жизней. Английский математик Джон Сноу (1813–1858) считал: «людей убивает вода». В конце лета 1854 года в районе Сохо разразилась эпидемия холеры. За первые несколько дней скончалось более 100 человек, за 10 дней — свыше 500, к концу эпидемии — 616. Сноу, который был свидетелем эпидемии 1831 года, жил в Сохо. Он заподозрил, что источником инфекции могла быть колонка с питьевой водой. Жители района брали воду из уличных колонок, вода в которые поступала из загрязненной Темзы. Сноу составил карту, на которой отметил местоположение колонок с водой и дома, где жили жертвы холеры. Он заподозрил, что причиной эпидемии была колонка на улице Броуд, вокруг которой, как было видно на карте, проживали заболевшие, которые действительно брали воду именно в этой колонке. В итоге Сноу удалось добиться закрытия колонки, и лишь спустя несколько лет было обнаружено, что причиной заболевания являются бактерии.
Карта очага эпидемии холеры, составленная Джоном Сноу, на которой отмечены случаи заболевания холерой в Лондоне в 1854 году. Точки указывают место жительства заболевших, крестами отмечены колонки с питьевой водой. Точки сконцентрированы вблизи колонки на улице Броуд.
* * *
Мы можем использовать карты в разных целях: для поиска кратчайшего пути до точки назначения, определения расстояний, измерения длин рек, газопроводов или линий связи; для определения зоны поражения боевой ракеты, области утечки газа или радиационного заражения. С помощью карт можно определить направление ветра, задать курс при путешествии в открытом море, на земле или в воздухе, вычислить площадь определенной территории, проанализировать географическую информацию, представленную на карте (уровень жизни, плотность населения, экономические данные или данные об уровне производства товаров и т. д.). Для решения последней задачи важно, чтобы карта сохраняла площадь и, если возможно, форму, то есть общий вид рассматриваемых территорий. Карты позволяют
Остановимся на мгновение и подумаем о проблеме составления карты земной поверхности на бытовом уровне, не обращаясь к методам дифференциальной геометрии, необходимым, чтобы ответить на вопрос со всей точностью. Несложно увидеть две основные трудности, возникающие при составлении карт. Одна из них заключается в том, что, в зависимости от задачи, карты должны иметь разные размеры и на них должны быть изображены участки земли разной площади. Вторая трудность — различие между геометрической формой самой Земли и карты, на которой она изображается: Земля имеет форму сферы, а карта плоская.
Из всего сказанного следует, что математические проекции, используемые при составлении карт, становятся понятны, если рассмотреть построение карт как двухэтапный процесс. Сначала земная сфера проецируется на сферический глобус, уменьшенный (в масштабе) до выбранного нами размера. Эта часть проекции заключается в простом уменьшении изображения земной поверхности. Затем уменьшенное изображение проецируется на плоскость, в результате чего появляется нужная нам карта.
* * *
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ КАРТЫ
Если мы нарисуем карту нашего дома, квартала или района, на ней не будет сохранен ни один из привычных параметров. Точно такими же были первые карты, созданные человеком, например вавилонская карта VI века до н. э., изображенная на глиняной табличке. Это так называемые топологические карты, на которых основное значение имеют отношения вида «близко — далеко», «вместе — раздельно», а также порядок и непрерывность. На топологических картах обычно изображают взаимосвязи между элементами местности. Хрестоматийным примером таких карт служат схемы метро, так как для тех, кто ими пользуется, важнее не расстояние между станциями, а их число и схемы пересадок.
К топологическим картам относятся так называемые фэнтези-карты вымышленных миров, например карта Средиземья из «Властелина колец» Дж. Р. Р. Толкиена (1954) или «живописные карты», которые можно увидеть, например, в парках аттракционов. К этому же виду относятся карты нейронных сетей и другие карты, используемые в информатике, а также карты, связанные с графами.
* * *
Описанная выше сферическая модель Земли — это идеальная модель земной поверхности, которая отличается от нее только размером, но не формой. Масштаб указывает разницу в размерах между Землей и сферой. Определить его можно, разделив радиус сферы на радиус Земли. Рассмотрим глобус радиусом 25 см. Радиус Земли будем считать равным 6371 км (если использовать размеры эллипсоида WGS84). В этом случае масштаб равен
Этот масштаб, который обычно записывается как 1:25484000, означает, что каждый сантиметр глобуса соответствует 25484000 см, то есть 254,84 км земной поверхности.
На многих древних картах масштаб указывался с помощью изображения компаса, как можно видеть на этой карте Магелланова пролива (1606), выполненной Йодокусом Хондиусом. На карте изображены и другие типичные элементы карт того времени, в частности роза ветров и фантастические животные.