Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир
Шрифт:
– Размещенные рядом символы складываются. (Это правило унаследовано от системы подсчета «палочек».)
– Символы записываются слева направо в порядке убывания их величины.
– Когда это возможно, смежные символы следует заменять одним, отражающим их суммарное значение.
(Правило вычитания, присутствующее в современной римской системе счисления, по которому IV означает четыре, было введено позже.) Второе и третье правило гарантируют единственность представления каждого числа, что сильно упрощает сравнение. Без этих правил могли бы существовать и XIXIXIXIXIX, и VXVXVXVXV, и никто не мог бы с первого взгляда сказать, что это одно и то же число.
За счет применения универсальных законов сложения эти правила давали системе одно важное преимущество над подсчетом с помощью «палочек», а именно возможность производить арифметические операции. Например, возьмем числа семь (VII) и восемь (VIII). Согласно правилам поместить их друг за другом VIIVIII –
Когда я говорю, что арифметические операции совершались системой записи чисел, я вкладываю в это буквальный смысл. Конечно, физически эти преобразования производили люди, пользовавшиеся этой системой. Но для этого им сначала нужно было записать ее правила у себя в голове, а затем выполнить их, как компьютер выполняет программу. Причем, как известно, именно программа диктует действия компьютеру, а не наоборот. Значит, процесс, которые мы называем «выполнением арифметических операций с римскими цифрами» также состоит в том, что римская система записи использует нас для совершения арифметических операций.
Римская система смогла выжить только за счет того, что вынуждала людей совершать эти действия, другими словами, она добивалась того, что римляне копировали ее из поколения в поколение: они считали ее полезной и передавали своим потомкам. Как я сказал, знания – это информация, которая, физически закрепившись в подходящей среде, стремится там остаться.
Услышав, что римская система записи чисел подчиняет нас себе, чтобы размножиться и не прекратить свое существование, кто-то, наверно, может подумать, что люди низводятся до статуса рабов. Но это было бы заблуждением. Люди состоят из абстрактной информации, включая характерные идеи, теории, намерения, чувства и другие состояния души, которые характеризуют конкретное «я». Спорить с тем, что, когда мы находим римские цифры полезными, мы идем у них «на поводу», все равно что протестовать против того, что мы ходим на поводу у наших намерений. Рассуждая таким образом, можно прийти к тому, что пытаться спастись от рабства – это тоже рабство. На самом же деле, когда я говорю, что подчиняюсь программе, которая меня же составляет, (или что я подчиняюсь законам физики), в слово «подчиняться» я вкладываю несколько иной смысл, чем раб. Эти два значения слова объясняют события, находящиеся на разных уровнях эмерджентности.
Вопреки тому, что иногда говорят, существовали и достаточно продуктивные способы умножения и деления римских чисел. Так, можно было узнать, что корабль, в трюме которого – XX ящиков, в каждом из которых V рядов по VII кувшинов, всего перевозит
Подобно тому, как добавлением пиктограмм можно было расширять словарь древней системы письма, добавлением символов можно было расширить диапазон системы записи чисел, что и делалось. Но в получающейся системе всегда был символ с самым большим значением, а значит, она не была универсальной в плане совершения арифметических операций без поштучного пересчета.
Единственный способ освободить арифметику от «палочек» – использовать правила с универсальной сферой применимости. Как и с алфавитами, достаточно будет небольшого набора базовых правил и символов. В универсальной системе, которой все пользуются сегодня, десять символов, это цифры от 0 до 9, а своей универсальностью она обязана правилу, в соответствии с которым значение цифры зависит от ее положения в числе. Например, цифра 2 означает два, если она сама по себе, но двести, если она присутствует в числе 204. В таких «позиционных» системах нужны «заполнители» разрядов, как, например, цифра 0 в числе 204, единственная функция которой – сдвинуть двойку в позицию, означающую «двести».
Эта система зародилась в Индии, но когда именно, неизвестно. Возможно, это случилось лишь в девятом веке, поскольку до этого она вроде как встречается
Уже к 1900 году до нашей эры древние вавилоняне изобрели в сущности универсальную систему счисления, но и они вполне могли не задумываться об универсальности и даже вовсе о ней не знать. Это была позиционная система, но очень громоздкая по сравнению с индийской. В ней было 59 «цифр», каждая из которых записывалась как число в системе типа римской. Пользоваться ею для совершения арифметических операций с числами в повседневной жизни было еще сложнее, чем римскими цифрами [30] . В этой системе также не было символа для нуля, а вместо заполнителей использовались пробелы. Изобразить ноль в конце строки было никак нельзя, эквивалента десятичной запятой тоже не было (это все равно что в нашей системе числа 200, 20, 2, 0,2 и так далее все записывались бы как 2, и различить их можно было бы только по контексту). Все это наводит на мысль, что при разработке системы задача добиться универсальности не была основной, и когда она была достигнута, ее особо не оценили.
30
Тем не менее она широко применялась в научных трудах на протяжении трех тысячелетий; в частности, вавилонскую шестидесятиричную систему использовал Клавдий Птолемей в трактате «Величайшее сочинение» («Альмагест»). Мы пользуемся наследием этой системы по сей день, разделяя час на 60 минут и минуту на 60 секунд и указывая географические и небесные координаты в градусах, минутах и секундах. – Прим. ред.
Возможно, понять эту странную закономерность позволит примечательный случай, произошедший в третьем веке до нашей эры с древнегреческим ученым и математиком Архимедом. В ходе своих исследований в области астрономии и чистой математики он столкнулся с необходимостью производить арифметические операции с достаточно большими числами, и ему пришлось изобрести свою собственную систему записи. Он отталкивался от греческой, с которой был знаком и которая была похожа на римскую [31] , только в ней символ с наибольшим значением обозначался через M – 10 000 (один мириад). Диапазон системы уже был расширен правилом, предписывающим умножать на десять тысяч число, написанное над M. Например, двадцать обозначалось символом , а четыре – , и двадцать четыре мириада (240 000) можно было записать как
31
Древнегреческая (аттическая) система записи чисел действительно была похожа на римскую, более того – являлась ее прототипом. В примере, однако, автор использует более современную и еще менее универсальную ионическую систему, основанную на присвоении каждой из 27 букв и знаков алфавита конкретного числового значения – от 1 до 9, от 10 до 90 и от 100 до 900. (Для записи тысяч буквы повторялись, начиная с .) Вместе с греческим алфавитом эта система была заимствована в Древней Руси и широко использовалась вплоть до начала XVIII века. – Прим. ред.
Если бы только по этому правилу можно было создавать многоуровневые числа, чтобы
32
Отметим, что в современном китайском языке имеются и активно используются для записи больших чисел иероглифы, соответствующие 10 000 и 100 000 000. – Прим. ред.