Начертательная геометрия: конспект лекций
Шрифт:
1. Проекции прямой
Для определения прямой необходимы две точки. Точку определяют две проекции на горизонтальную и фронтальную плоскости, т. е. прямая определяется с помощью проекций двух своих точек на горизонтальной и фронтальной плоскостях.
На рисунке 17 показаны проекции (а и a, b и b) двух точек А и В. С их помощью определяется положение некоторой прямой АВ. При соединении одноименных проекций этих точек (т. е. а и b, а и b) можно получить проекции аb
На рисунке 18 показаны проекции обеих точек, а на рисунке 19 – проекции проходящей через них прямой линии.
Если проекции прямой определяются проекциями двух ее точек, то они обозначаются двумя рядом поставленными латинскими буквами, соответствующими обозначениям проекций точек, взятых на прямой: со штрихами для обозначения фронтальной проекции прямой или без штрихов – для горизонтальной проекции.
Если рассматривать не отдельные точки прямой, а ее проекции в целом, то данные проекции обозначаются цифрами.
Если некоторая точка С лежит на прямой АВ, ее проекции с и с находятся на одноименных проекциях прямой ab и аb. Данную ситуацию поясняет рисунок 19.
2. Следы прямой
След прямой – это точка пересечения ее с некоторой плоскостью или поверхностью (рис. 20).
Горизонтальным следом прямой называется некоторая точка H, в которой прямая встречается с горизонтальной плоскостью, а фронтальным – точка V, в которой данная прямая встречается с фронтальной плоскостью (рис. 20).
На рисунке 21а изображен горизонтальный след прямой, а ее фронтальный след, – на рисунке 21б.
Иногда также рассматривается профильный след прямой, W – точка пересечения прямой с профильной плоскостью.
Горизонтальный след находится в горизонтальной плоскости, т. е. его горизонтальная проекция h совпадает с этим следом, а фронтальная h лежит на оси х. Фронтальный след лежит во фронтальной плоскости, поэтому его фронтальная проекция совпадает с ним же, а горизонтальная v лежит на оси х.
Итак, H = h, и V = . Следовательно, для обозначения следов прямой можно применять буквы h и .
3. Различные положения прямой
Прямую называют прямой общего положения, если она не параллельна и не перпендикулярна ни одной плоскости проекций. Проекции прямой общего положения тоже не параллельны и не перпендикулярны осям проекций.
Прямые, которые параллельны одной из плоскостей проекций (перпендикулярны одной из осей). На рисунке 22 показана прямая, которая параллельна горизонтальной плоскости (перпендикулярная оси z), – горизонтальная прямая; на рисунке 23 показана прямая, которая параллельна фронтальной плоскости (перпендикулярна оси у), – фронтальная прямая; на рисунке 24 показана прямая, которая параллельна профильной плоскости (перпендикулярна оси х), – профильная прямая. Несмотря на то что каждая из данных прямых образует с одной из осей прямой угол, они не пересекают ее, а только скрещиваются с нею.
Из-за
У фронтальной прямой (рис. 23) проекции аb || x и a"b" || z, т. е. они перпендикулярны оси у, а потому в этом случае фронтальная проекция аb прямой может занимать произвольное положение.
У профильной прямой (рис. 24) аb || у, аb|| z, и обе они перпендикулярны оси х. Проекция а"b" может располагаться на эпюре любым образом.
При рассмотрении той плоскости, которая проецирует горизонтальную прямую на фронтальную плоскость (рис. 22), можно заметить, что она проецирует эту прямую и на профильную плоскость, т. е. она является плоскостью, которая проецирует прямую сразу на две плоскости проекций – фронтальную и профильную. Исходя из этого ее называют дважды проецирующей плоскостью. Таким же образом для фронтальной прямой (рис. 23) дважды проецирующая плоскость проецирует ее на плоскости горизонтальной и профильной проекций, а для профильной (рис. 23) – на плоскости горизонтальной и фронтальной проекций.
Две проекции не могут определить прямую. Две проекции 1 и 1 профильной прямой (рис. 25) без уточнения на них проекций двух точек этой прямой не определят положения данной прямой в пространстве.
В плоскости, которая перпендикулярна двум заданным плоскостям симметрии, возможно существование бесчисленного множество прямых, для которых данные на эпюре 1 и 1 являются их проекциями.
Если точка находится на прямой, то ее проекции во всех случаях лежат на одноименных проекциях этой прямой. Обратное положение не всегда справедливо для профильной прямой. На ее проекциях можно произвольным образом указать проекции определенной точки и не быть уверенным в том, что эта точка лежит на данной прямой.
Во всех трех частных случаях (рис. 22, 23 и 24) положения прямой по отношению к плоскости проекций произвольный ее отрезок АВ, взятый на каждой из прямых, проецируется на одну из плоскостей проекций без искажения, т. е. на ту плоскость, которой он параллелен. Отрезок АВ горизонтальной прямой (рис. 22) дает проекцию в натуральную величину на горизонтальную плоскость (аb = АВ); отрезок АВ фронтальной прямой (рис. 23) – в натуральную величину на плоскость фронтальной плоскости V (ab = AB) и отрезок АВ профильной прямой (рис. 24) – в натуральную величину на профильную плоскость W (a"b" = АВ), т. е. представляется возможным измерить на чертеже натуральную величину отрезка.