Начертательная геометрия: конспект лекций
Шрифт:
Иначе говоря, с помощью эпюр можно определить натуральные размеры углов, которые рассматриваемая прямая образует с плоскостями проекций.
Угол, который составляет прямая с горизонтальной плос костью Н, принято обозначать буквой , с фронтальной плоскостью – буквой , с профильной плоскостью – буквой .
Любая из рассматриваемых прямых не имеет следа на параллельной ей плоскости, т. е. горизонтальная прямая не имеет горизонтального следа (рис. 22), фронтальная прямая не имеет фронтального следа (рис. 23), а профильная прямая – профильного следа (рис. 24).
4. Взаимное расположение двух прямых
Возможны три случая расположения прямых в пространстве:
1) прямые пресекаются, т. е. имеют общую точку;
2) прямые
3) прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости, т. е. через них нельзя провести плоскость.
Когда прямые пересекаются, на эпюре точки пересечения их одноименных проекций на горизонтальной и фронтальной плоскостях находятся на одном перпендикуляре к оси х.
Рассмотрим прямые I и II, которые пересекаются в точке А (рис. 26). Спроецируем обе прямые на горизонтальную плоскость. Если учесть, что точка А принадлежит обеим прямым, то ее проекция а будет принадлежать также и обеим проекциям прямых.
Похожая картина будет и на фронтальной плоскости, т. е. эти точки пересечения одноименных проекций а и а являются проекциями некоторой точки А, и поэтому они должны лежать на одном перпендикуляре к оси х. Точно так же будет верным и обратное утверждение: если на эпюре точки пересечения одноименных проекций прямых на две плоскости (горизонтальную и фронтальную) лежат на одном перпендикуляре к оси х, то эти прямые пересекаются.
Пусть проекции прямых I к II (рис. 27) подчиняются этому условию.
Тогда точки пересечения их одноименных проекций можно рассматривають как проекции некоторой точки в пространстве. Обозначим точку пересечения горизонтальных проекций 1 и 2 буквой а, а точку пересечения фронтальных проекций 1 и 2 – буквой а. Рассматриваемая точка А находится и на прямой I, и на прямой II. То есть она является их общей точкой, в которой пересекаются эти прямые.
Прямое утверждение справедливо во всех случаях без исключения. Обратное же утверждение неприменимо в том случае, если хотя бы одна из прямых профильная.
Когда прямые параллельны, на эпюре их одноименные проекции параллельны (рис. 28).
На самом деле, плоскости Р и Q, проецирующие прямые I и II на горизонтальную плоскость, параллельны, так как в каждой из этих плоскостей можно указать две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым второй плоскости, т. е. прямая I параллельна прямой II, и проектирующий луч Аа параллелен лучу Вb. Но две параллельные плоскости Р и Q пересекут горизонтальную плоскость. В результате этого образуются две параллельные прямые 1 и 2, т. е. горизонтальные проекции прямых I и II параллельны между собой.
Аналогично можно доказать, что и любые другие одноименные проекции обеих прямых также будут параллельны друг другу.
Верно и обратное утверждение: прямые параллельны, если на эпюре их одноименные проекции параллельны.
Если известно, что горизонтальные и фронтальные проекции прямых I и II параллельны, будет справедливо следующее: 1 || 2 и 1|| 2 (рис. 29).
В
Прямая I находится в пересечении плоскостей РI и QI, а прямая II – в пересечении плоскостей РII QII. Отсюда получаем, что прямая I параллельна плоскости РII, потому что находится в плоскости, ей параллельной. Однако прямая I параллельна и плоскости QII. Поэтому прямая I параллельна линии пересечения плоскостей РII и QII, т. е. прямой II.
Доказательство обратного утверждения не имеет смысла для профильных прямых. Это объясняется тем, что тогда вместо двух плоскостей, проецирующих прямую на горизонтальную и фронтальную плоскости, существует только одна, дважды проецирующая плоскость (рис. 30).
Видно, что вне зависимости от расположения двух профильных прямых I и II в пространстве их горизонтальные и фронтальные проекции всегда параллельны (или сливаются).
Прямые будут являться скрещивающимися, если они не параллельны и не пересекаются. Это вытекает из того, что возможны только три случая взаимного расположения прямых.
Для скрещивающихся прямых справедливы утверждения:
1) точки пересечения одноименных проекций на горизонтальной и фронтальной плоскостях не лежат на одном перпендикуляре к оси х (прямые I и II на рис. 31).
2) хотя бы в одной паре одноименные проекции не параллельны (прямые III и IV на рис. 31).
Рисунок 31 показывает проекции четырех прямых, любая пара из которых скрещивается.
Как и в рассмотренных ранее случаях, обратное утверждение для скрещивающихся прямых несправедливо при условии, что хотя бы одна из прямых является профильной.
5. Перпендикулярные прямые
Рассмотрим теорему: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций (или лежит в ней), то прямой угол проецируется на эту плоскость без искажения.
Приведем доказательство для прямого угла ABC, одна сторона которого ВС параллельна горизонтальной плоскости (рис. 32).
Плоскость, в которой находится сторона угла АВ и ее проекция ab, перпендикулярна горизонтальной плоскости, так как содержит перпендикуляр Вb к этой плоскости. Прямая ВС перпендикулярна плоскости Q вследствие ее перпендикулярности двум пересекающимся прямым этой плоскости (АВ и Вb). Прямая bc параллельна ВС, т. е. она также перпендикулярна Q, а значит и прямой ab, которая лежит в ней.