Начертательная геометрия: конспект лекций
Шрифт:
Ясно, что если на эпюре одна пара одноименных проекций двух прямых перпендикулярна, а одна из двух остальных проекций параллельна оси х, то такие прямые образуют в пространстве прямой угол.
Предположим, что ab bc, bс || x.
Это показано на рисунке 33.
Можно провести через проекцию аb плоскость Q, проектирующую прямую АВ на горизонтальную плоскость (рис. 33). Проекция bс перпендикулярна плоскости Q вследствие
Прямая ВС является параллельной горизонтальной плоскости, так как ее фронтальная проекция bс параллельна оси х, поэтому она параллельна своей горизонтальной проекции, т. е. справедливо выражение ВС || bс. Следовательно, прямая ВС перпендикулярна плоскости Q и поэтому перпендикулярна прямой АВ вне зависимости от ее положения в плоскости Q.
Через некоторую точку М можно провести огромное количество прямых, которые перпендикулярны данной прямой АВ. Они образуют целую плоскость Р, перпендикулярную АВ (рис. 34).
Из всех перпендикулярных прямых, которые при этом образуются, только одна пересекает данную прямую. Это прямая MN, которая проходит через точку N пересечения прямой АВ и плоскости Р.
Под перпендикуляром к прямой подразумевается прямая, не только перпендикулярная данной прямой, но и пересекающая в отличие от просто перпендикулярных скрещивающиеся прямые.
Прямой угол между скрещивающимися прямыми проецируется на данную плоскость проекций без искажения, если одна из прямых параллельна этой плоскости или лежит в ней.
Лекция № 4. Плоскость
1. Определение положения плоскости
Для произвольно расположенной плоскости проекции ее точек заполняют все три плоскости проекций. Поэтому не имеет смысла говорить о проекции всей плоскости целиком, нужно рассматривать лишь проекции таких элементов плоскости, которые ее определяют.
На основании законов стереометрии плоскость определяется, когда известны принадлежащие ей:
1) три точки, не лежащие на одной прямой;
2) прямая и точка, не находящаяся на этой прямой;
3) две пересекающиеся прямые;
4) две параллельные прямые.
Итак, плоскость будет считаться заданной, если имеется на эпюре одна из перечисленных выше комбинаций элементов, определяющих данную плоскость (рис. 35 случаи 1, 2, 3, 4).
Все четыре способа задания плоскости равнозначны, так как легко имея одну комбинацию элементов, изображенную на рисунке 35 перейти к любой другой.
Если соединить
2. Следы плоскости
След плоскости Р – это линия пересечения ее с данной плоскостью или поверхностью (рис. 36).
Линию пересечения плоскости Р с горизонтальной плоскостью называют горизонтальным следом и обозначают Ph, а линию пересечения с фронтальной плоскостью – фронтальным следом и обозначают Рv (рис. 37).
Иногда применяется и профильный след Pw – линия пересечения данной плоскости с профильной плоскостью.
Точки, в которых пересекается плоскость Р с осями проекций, называют точками схода следов. Рх – точка схода следов на оси х, Pу – на оси у, а Рz – на оси z (рис. 37). в точке Р пересекаются следы Ph и Pv и т. д.
Следы Ph и Pv плоскости Р являются прямыми, которые и лежат на горизонтальной и фронтальной плоскостях. Они имеют по одной из своих проекций, которые совпадают с осью х: горизонтальный след Ph – фронтальную, а фронтальный Pv– горизонтальную проекции.
Любую плоскость Р можно задать на эпюре с помощью указания положения двух ее следов – горизонтального и фронтального (рис. 38).
Следы Ph и Pv чаще всего изображаются парой пересекающихся или параллельных прямых и поэтому могут определять положение плоскости в пространстве.
3. Прямая, лежащая в данной плоскости
Прямая принадлежит плоскости Р в том случае, если любые две ее точки лежат в данной плоскости.
Например, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости, то прямая лежит в этой плоскости (рис. 39).