Наука. Величайшие теории: выпуск 3: Гейзенберг. Принцип неопределенности. Существует ли мир, если на него никто не смотрит?
Шрифт:
Q•P-P•Q = ihI,
где i = sqrt(-1) – мнимая единица, h = h/2π – редуцированная постоянная Планка, I- единичная матрица. Элементы единичной матрицы, расположенные на главной диагонали, равны единице, все прочие – нулю. Это соотношение любопытно тем, что в нем присутствует число i. Оно было описано в XIX веке Коши и Гауссом и иногда используется в физике для упрощения некоторых формальных расчетов, однако в этой формуле мнимая единица появилась совершенно неожиданно, и в этом – еще одна особенность квантовой механики.
Матрица – это таблица с числами, которые обозначаются двумя индексами: первый указывает строку, в которой находится число, второй –
Сложение и вычитание матриц интуитивно понятны: для этого нужно почленно сложить или вычесть элементы исходных матриц. Произведение матриц рассчитывается по особому правилу:
При умножении матриц порядок множителей, в общем случае, влияет на конечный результат. К примеру, произведения матриц
равны
Эти матрицы различаются между собой. Разностью этих произведений будет матрица
В общем случае, в квантовой механике используются квадратные матрицы бесконечной размерности, то есть имеющие бесконечное число строк и столбцов.
В сентябре Борн и Йордан отправили копию своей работы Гейзенбергу, который к тому времени уже находился в Копенгагене. Молодой ученый показал работу Бору со словами: «Здесь полно матриц, и я не представляю, что они означают». В результате Гейзенбергу пришлось срочно изучить матричную алгебру. Стремясь сформулировать новую механику, он переписывался с Борном и Йорданом. Результатом совместной работы стала статья под названием «О квантовой механике, часть II», законченная в ноябре 1925 года и подписанная Борном, Гейзенбергом и Йорданом в алфавитном порядке. Это была знаменитая Dreimannerarbeit («работа трех») с изложением основ новой теории на языке математических выкладок. В статье были по-новому сформулированы начальные постулаты квантовой теории: в ней описывалось существование стационарных энергетических состояний атомов и квантовые скачки между состояниями, сопровождающиеся излучением или поглощением света. Авторы называли свою теорию «истинной теорией дискретного». Она позволяла провести все необходимые расчеты для любой системы с периодическим движением и описать свойства атомов с помощью новой матричной механики.
Многие физики отнеслись к матричной механике прохладно; собственно, большинство из них даже не знали, что такое матрица. Эйнштейн писал своему другу Мишелю Бессо:
«Самым интересным из недавних теоретических результатов является теория квантовых состояний Гейзенберга, Борна и Йордана. Это по-настоящему волшебная таблица умножения, где на смену декартовым координатам пришли бесконечные матрицы. Она крайне любопытна и ввиду огромной сложности в достаточной мере защищена от опровержений».
Матричная теория была слишком абстрактной, и большинство ученых с облегчением приняли более доступную волновую механику, описанную Шрёдингером несколько месяцев спустя.
Напомним, что в 1923 году Луи де Бройль предположил, что электрону свойственен корпускулярно-волновой дуализм, то есть он ведет себя и как частица, и как волна, и разрешить этот дуализм можно с помощью законов оптики. При описании интерференции и дифракции света необходимо использовать волновые уравнения физической оптики. Однако при описании движения света в различных средах достаточно рассмотреть прямолинейные траектории, как если бы речь шла о движении частиц с разной скоростью в зависимости от среды. Задачи этого типа решаются в геометрической оптике. С XIX века было известно, каковы геометрические
«В этой статье мне прежде всего хотелось бы показать на простейшем примере нерелятивистского свободного атома водорода, что обычные правила квантования могут быть заменены другими положениями, в которых уже не вводится каких-либо «целых чисел». Эти целые числа выводятся естественным образом, подобно целому числу узлов при колебаниях струны. Это новое представление может быть обобщено, и я верю, что оно тесно связано с истинной природой квантования».
В формулировке, которая была предложена Эрвином Шрёдингером в 1925 году, состояние системы взаимодействующих частиц полностью описывается ее волновой функцией (ψ), которая зависит от времени и координат частиц. Если опустить релятивистские эффекты, то волновая функция будет решением уравнения
ihψ=Hψ
Рассмотрим использованные символы. Буква i обозначает мнимую единицу, то есть sqrt(-1). Буква h – редуцированную постоянную Планка h/2π. Точка над буквой, обозначающей функцию, – сокращенный способ обозначения производной по времени. В правой части уравнения записана функция Гамильтона H = T+V, равная сумме кинетической и потенциальной энергии системы. При рассмотрении электрона в атоме водорода кинетическая энергия, которая в классической физике определяется как Т = р²/(2m), задается оператором
в котором содержатся вторые дифференциалы волновой функции относительно пространственных координат (х, у, z). Потенциальная энергия рассчитывается по закону Кулона: V= -е² /r. Шрёдингер был весьма удивлен появлению числа i, так как был убежден в «вещественности» волновой функции. К одной из своих статей он добавил комментарий, в котором упомянул Паули и его особое чувство юмора:
«Откуда мог взяться sqrt(-1) в этом уравнении? Возможный ответ, который я не осмелюсь привести здесь в общем виде, дал физик, который некоторое время назад покинул Австрию, но […] не оставил свой утонченный венский юмор и всегда умеет найти подходящее слово. Его ответ был таков: sqrt(-1) «проскользнул» в уравнение (4"), словно бы мы дали ему проскочить туда случайно. Тем не менее эта случайность заставила нас почувствовать огромное облегчение».
На языке математики электрон в атоме описывается волновой функцией, обозначаемой греческой буквой (пси). Эта функция является решением дифференциального уравнения в частных производных, которое называется уравнением Шрёдингера.
Возможно ли, что природа столь абсурдна, как нам кажется во время экспериментов по атомной физике?
Этим вопросом часто задавался Гейзенберг после обсуждения квантовой механики с Бором.
Эйнштейн написал Шрёдингеру такие строки: «Я убежден, что вы, предложив свою формулировку квантового состояния, совершили решающий прорыв, равно как я убежден в том, что метод Гейзенберга – Борна ошибочен». Однако Эйнштейн оказался неправ: сам Шрёдингер отмечал, что матричная и волновая механика с математической точки зрения абсолютно эквивалентны, несмотря на различия в предпосылках, идеях и методах. В матричной механике электрон считается частицей. Классические непрерывные переменные в ней заменялись матрицами, зависящими от двух целочисленных индексов, а классические уравнения замещались алгебраическими. Волновая механика – это, напротив, теория непрерывного, в которой электрон рассматривается как волна. Динамическое уравнение – это уравнение в частных производных, содержащее загадочные квантовые условия старой классической квантовой теории. Однако и матричная, и волновая механика приводили к одинаковым результатам. Как подчеркнул Шрёдингер, превосходство одной теории над другой было «по сути, второстепенным вопросом, связанным с удобством вычислений».