Наука. Величайшие теории: выпуск 3: Гейзенберг. Принцип неопределенности. Существует ли мир, если на него никто не смотрит?
Шрифт:
Δx – Δp=>
Произведение величин, показывающих, с какой точностью можно измерить положение частицы и ее импульс, ограничено редуцированной постоянной Планка
Единственный вывод из этого принципа, не противоречащий квантовой механике, заключается в том, что положение и момент электрона нельзя одновременно измерить с произвольной точностью: чем точнее мы определим положение частицы, тем менее точно мы сможем определить ее импульс в этот момент времени, и наоборот. Подобные отношения связывают и другие пары величин, к примеру энергию и время или момент импульса и угол, – такие величины называются канонически сопряженными. Их произведение измеряется в тех же единицах, что и действие, то есть, подобно постоянной Планка, определяется
Бор с энтузиазмом отнесся к заключениям Гейзенберга, так как увидел в них проявление корпускулярно-волнового дуализма. Однако, прочитав рукопись, он обнаружил ошибку, которая стала предметом долгих и жарких споров двух ученых. Эта ошибка содержалась не в рассуждениях или выводах, а в примере с гамма-лучевым микроскопом, который Гейзенберг использовал для объяснения полученных результатов. Дискуссия Бора и Гейзенберга продолжалась несколько дней и осложнялась тем, что статья уже была опубликована. Позднее Гейзенберг признавался: «Я помню, что все закончилось, когда я просто расплакался, не в силах справиться с давлением Бора». И все же Гейзенбергу пришлось признать правоту оппонента. В примечании в конце статьи Гейзенберг упомянул, что Бор помог ему увидеть некоторые важные аспекты:
«Прежде всего, неопределенность при наблюдениях не основана исключительно на существовании дискретностей, но непосредственно связана с требованием того, чтобы одновременно удовлетворялись результаты различных опытов, описываемых корпускулярной теорией, с одной стороны, и волновой теорией – с другой».
Рассмотрим подробнее пример, иллюстрирующий квантовую неопределенность.
Гейзенберг описал микроскоп, позволяющий определять положение и скорость электрона. В этом микроскопе вместо видимых лучей света использовались гамма-лучи, то есть лучи света с очень малой длиной волны. Речь идет о мысленном эксперименте, то есть о логически возможном, но нереализуемом: сегодня не существует материалов, способных фокусировать гамма-лучи подобно тому, как линзы фокусируют лучи видимого спектра. Однако микроскоп Гейзенберга подчинялся тем же принципам, что и классические микроскопы. Лучи видимой части спектра не позволяют увидеть объекты, размер которых значительно меньше длины волны этих лучей, заключенной на интервале 400-700 нм. С их помощью можно увидеть бактерии, размер которых исчисляется микрометрами, то есть тысячами нанометров, однако вирусы, в сто раз меньшие, с помощью классического микроскопа уже не различить.
Гейзенберг предположил, что точность измерения положения электрона определяется длиной волны гамма-лучей Δx = λ, а точность измерения импульса равна точности измерения импульса фотона, определяемой по формуле де Бройля, Δp ~ h/λ. Отсюда следует соотношение ?x • Δp ~ h. Однако Бор показал, что эксперимент основан на двух противоречивых представлениях о природе света. Любопытно, что, помимо интерпретации, связанной с корпускулярно-волновым дуализмом, Гейзенберг ничего не знал о разрешающей способности описанного им микроскопа – то же произошло, когда он сдавал экзамен на получение докторской степени.
В силу дифракции света изображение точки, наблюдаемой через линзу или систему линз, представляет собой не точку, а ряд расплывчатых окружностей (см. Рис. 1).
Рис. 1
Рис. 2
Если две точки расположены очень близко друг от друга, определить, одна это точка или две, невозможно из-за наложения окружностей. Разрешающая способность микроскопа – это наименьшее расстояние между двумя точками, которые можно различить при наблюдении через систему линз. Законы оптики позволяют доказать, что это расстояние определяется по формуле
где
Разрешающая способность микроскопа – это наименьшее расстояние между двумя точками, которые можно различить с его помощью. Именно от этой характеристики зависит неточность при определении положения электрона. Изображение точки, наблюдаемой через микроскоп, представляет собой ряд концентрических окружностей. Согласно законам волновой оптики, минимальное расстояние, на котором можно различить две точки, определяется по формуле Δx ~ λ/sinε, то есть как отношение длины волны и синуса половины угла апертуры объектива ?. В действительности это выражение не вполне точное – его необходимо умножить на коэффициент, который зависит от геометрии системы линз. Однако значение этого коэффициента близко к единице, поэтому им можно пренебречь. С другой стороны, в силу эффекта Комптона при столкновении с фотоном электрон получает импульс в направлении x, зависящий от импульса фотона. Точно определить направление фотона нельзя – возможные направления будут располагаться внутри воображаемого конуса, определяемого лучами, попадающими в микроскоп. Из кинематических и геометрических соображений можно сделать вывод: Δр ~ h/λ sinε. Следовательно, имеем прежний результат Δх • Δр ~ h. Читатель может спросить: зачем стоило приводить более сложные рассуждения, чтобы получить тот же результат? Возможно, об этом думал и Гейзенберг в споре с Бором, однако настойчивость последнего была вызвана концептуальной важностью корпускулярно-волнового дуализма. В этом случае он проявляется в двух аспектах одного и того же эксперимента. Волновая природа света учитывается при определении разрешающей способности микроскопа, корпускулярная природа – при определении импульса фотона.
В конце статьи Гейзенберг прокомментировал некоторые важные следствия выведенных им неравенств. Напомним, что несколькими годами ранее Нильс Бор в отчаянии предположил, что основные законы физики, в частности закон причинно- следственной связи и законы сохранения импульса и энергии, на атомном уровне выполняются не для отдельных взаимодействий, а в среднем для большого числа частиц. Эксперименты показали, что это предположение было неверным, но Гейзенберг признал, что принцип причинно-следственной связи в квантовой механике действительно выглядит несколько иначе.
Уравнения классической физики позволяют определить изменение состояния системы с течением времени по известным положениям и импульсам всех ее частей в начальный момент времени. Этот принцип изложил французский ученый Пьер- Симон Лаплас в 1814 году применительно ко всей Вселенной:
«Мы должны рассматривать нынешнее состояние Вселенной как результат его предшествующего состояния и как причину состояния, которое воспоследует. Разум, которому в настоящий момент были бы известны все силы, движущие природой, и относительное положение всех существ, ее составляющих, и который был бы достаточно обширным, чтобы подвергнуть все эти данные анализу, подытожил бы в одной и той же формуле движения величайших тел Вселенной и мельчайших атомов: для этого разума ничто не было бы неопределенным, и грядущее, равно как и прошлое, предстали бы перед его глазами».
В то время весь мир считал, что точность любого измерения ограничивается лишь точностью используемых измерительных приборов. Однако Гейзенберг показал, что этот принцип не выполняется для определенных пар величин, называемых канонически сопряженными. Квантовая механика накладывает ограничение на точность, с которой можно одновременно измерить эти величины, независимо от точности применяемых приборов. Гейзенберг писал:
«В жесткой формулировке закона причинности, гласящей: „Если мы точно знаем настоящее, мы можем вычислить будущее", ложной является не вторая часть, а предпосылка. Мы принципиально не можем узнать настоящее во всех деталях».