Невероятно – не факт
Шрифт:
В этом году я собираюсь поехать встречать Новый год в Сухуми или Гагру. Перед принятием такого решения я выписал из библиотеки справочник по климату и с нудной дотошностью учёного деятеля стал анализировать данные о погоде этих мест.
Оказалось, что у меня есть шансы попасть в настоящую жару. В городе Сухуми в январе был однажды зафиксирован абсолютный максимум температуры в 24 градуса. Вспомнив, о чём писал на предыдущих страницах, я решил не полагаться на мизерную вероятность повторения такой температуры в эту зиму и в соответствующей таблице нашёл «средний из абсолютных максимумов». (Это вот что такое. Каждый год отмечается максимальная температура января, февраля и т.д. «Среднее», о котором говорится, было выведено чуть ли не за 100 лет.) «Средний абсолютный максимум» оказался равен 18 градусам. А на такую температуру, хотя бы в течение
Но, скажет внимательный читатель, знание одного лишь среднего значения абсолютных максимумов совершенно недостаточно, чтобы судить о вероятности события. Ведь нормальная кривая может быть очень плоской, колокол может быть невысоким, и тогда вероятность среднего будет невелика.
Правильно. Такие 18 градусов – сомнительный залог блаженства. Я продолжаю листать справочник и нахожу то, что требуется. Другая таблица даёт значение «среднего отклонения» «средней максимальной температуры» от «многолетнего среднего январского»: это 2 градуса. («Среднее отклонение» – это ещё одна характеристика ширины кривой нормального распределения. Полуширина кривой, с которой мы подробно знакомили читателя, немного больше «среднего отклонения».)
Как получены эти 2 градуса? Предположим, в 1900 году средняя январская температура равнялась 15 градусам, в 1901 году – 14, в 1902 – 18, в 1903 – 20, в 1904 – 17 и т.д. Поместив рядом, в следующей графе таблицы, абсолютные отклонения от среднего (то есть от 18 градусов), получим для 1900 года – 3, 1901 – 4, 1902 – 0, 1903 – 2, 1904 – 1 и т.д. Теперь остаётся сложить эти цифры за все годы наблюдений и разделить на число лет. Так были получены эти 2 градуса.
Добыв «среднее отклонение», я значительно прояснил условия проведения своего отпуска. То есть могу достаточно смело рассчитывать на то, что встречусь с такими днями, когда температура будет лежать в пределах 16—20 градусов. Ну а будут ли отклонения от 18 градусов больше 2? Возможно. Но если температура не поднимается выше 14 градусов (отклонение в два раза больше среднего), то я буду считать, что мне не повезло. Если же за месяц пребывания в Сухуми столбик термометра не пересечёт 12 градусов – это уже редкостное невезение, и старожилы скажут, что такого они не помнят.
На этом можно было бы закончить разговор о метеорологических исследованиях, но я засомневался в его исчерпывающей полноте. Наши рассуждения насчёт вероятности отклонений справедливы в том случае, если распределение температуры подчиняется нормальному гауссову закону. А подчиняется ли оно на самом деле? Данные о «среднем значении» и о «среднем отклонении» от среднего – это хорошо, а «полная кривая распределения» всё-таки лучше. Какова она?
Составители справочника предусмотрели и такой запрос и привели данные для построения многолетней средней кривой распределения максимальных температур января. Согласно этим данным ниже нуля температура в январе не наблюдалась ни разу. В среднем 2,2 дня в январе имеют температуру между 0 и 5 градусами (можно сказать и так: вероятность температуры между 0 и 5 градусами в январе в городе Сухуми равняется 2,2/31, то есть 0,07 (семь процентов шансов). Температура между 5 и 10 градусами наблюдалась в среднем в течение 11,3 дня января; между 10 и 15 градусами – 12,4 дня; между 15 и 20 – 4,7 и, наконец, между 20 и 25 градусами – 0,4 дня. Я построил кривую и увидел, что все в порядке – получилась нормальная колоколообразная кривая.
Дни с температурой выше 10 градусов (в Москве в это время мороз и заносы) я считаю превосходной погодой: можно загорать, купаться, ходить на водных лыжах, кататься на катере. А таких дней в среднем за месяц будет 17,5, то есть больше половины. Значит, вероятность хорошей погоды одна вторая: орёл или решка? Можно рискнуть – взять отпуск в январе и поехать загорать в Сухуми.
Итак, вы видите, что справочник по климату может великолепно служить руководством к действию: при его помощи можно делать определённые прогнозы. Некоторые предсказания оказываются почти категорическими: в январе в Сухуми температура ниже 0 не опускается, до плюс 12 в какие-то дни она повысится непременно
– Это ни на что не похоже, – сказала она тоскливо. – Пропал весь отпуск. Дождь и дождь не переставая. Сколько можно! А ещё говорят, что этот месяц обычно не очень дождливый.
– Старожилы говорят, что такого не помнят, – сказал он. – Аномалия. Не повезло. А что сказало бюро погоды?
– Обещают на завтра такую же погоду, как сегодня, – и после паузы: – Слушай, давай уедем, чёрт с ними, с путёвками.
– Не угадаешь. Уедешь, и как раз дожди кончатся. Хоть бы наука помогла. Вычислить вероятность продолжения дождей, что ли, а потом решить?
– Разве можно такие вещи вычислять? – с недоверием спросила она. – А потом… ну, допустим, вычислишь, получишь 30 процентов за дождь, а 70 против. Решим остаться и… проиграем. При 70 проиграть не так уж трудно.
Честно говоря, я не решился бы дать совет этой паре. Проиграть не так уж трудно и при шансах на выигрыш в 90 процентов. Но всё же, если следовать вероятности всегда, то, подводя итоги, придёшь к выводу, что расчёты помогли.
Что же касается возможности рассчитать, будет ли дождь идти завтра после того, как он уже льёт целую неделю, то она имеется. Существует довольно простая формула математика прошлого Томаса Бейеса, опубликованная впервые в 1763 году в его посмертной работе «Опыт решения одной проблемы теории вероятностей». В ней впервые был поставлен вопрос о том, как может быть использована теория вероятностей для составления того или иного суждения о явлении, располагая лишь ограниченным рядом наблюдений. Пусть перед нами урна с шарами. Шары могут быть только белыми, могут быть только чёрными, а могут быть и белые и чёрные, то есть состав шаров – смешанный. Мы скажем, что любой состав урны имеет равные априорные вероятности.
(Что такое априорные? Латынь, которая обильно украшала научные сочинения прошлого, вышла сейчас из моды, но некоторые слова оказались стойкими. К ним относятся a priori и a posteriori, что означает «до опыта» и «после опыта». Впрочем, даже и в этом случае мы предпочитаем вводить соответствующие русские прилагательные.)
Предположим, мы вытащили один шар: он оказался белым. Ситуация после этого сразу изменилась, поскольку уже ясно, что предположение, будто все шары чёрные, надо отбросить. А если мы вытащили 5 белых шаров подряд? Этот факт сильно повышает вероятность гипотезы, что в урне много белых шаров. Можно ли выяснить, какова вероятность, что белых шаров 100 процентов, или 90, или 80, после того, как произведён опыт? Или короче – какова априорная вероятность того, что в урне столько-то белых шаров после того, как мы вытащили из урны 5 белых шаров?
Вот такие и подобные проблемы решал Бейес в своей работе.
Одна из формул, выведенных Бейесом, отвечает на вопрос, который интересовал неудачливую пару, попавшую в полосу дождей. Если какое-то событие произошло несколько раз, то можно высчитать, какова вероятность его свершения и в следующий раз. Формула, как говорилось, очень простая, и её можно привести здесь, прибегнув – увы! – к алгебраическим символам, навевающим на некоторых все же страх или скуку: p=(q+1)/(q+2) (вероятность равна дроби, числитель которой равен числу происшедших событий плюс единица, а знаменатель равен этому же числу плюс два). Значит, если дождь идёт один день, то вероятность, что он будет идти завтра, равна 2/3, если дождь идёт два дня, то назавтра вы можете ждать такой же погоды с вероятностью 3/4, три дня – 4/5… восемь дней – 9/10. Просто, не правда ли?
Но если бездумно применять эту формулу, то можно прийти к абсурду. Например, я два раза набирал по телефону 01, вызывая пожарную команду, и она приезжала: значит, если я буду вызывать её третий раз, то она прибудет тушить пожар с вероятностью в 75 процентов. Глупо ведь? Конечно, глупо. Или в этом году с Эйфелевой башни бросились и разбились две девушки, обманутые женихами. Значит, следующая имеет шанс из четырех остаться в живых. Глупо? Конечно, глупо. Но при чём здесь наша простая формула? Прочитав внимательно работу этого превосходного математика, мы увидим, что формула введена в предположении, что о вероятности единичного события нам неизвестно ровно ничего, то есть что эта вероятность может быть любой – от 0 до 1.